Braquistocrona y aceleración en función de la posición

[Richard R Richard]

Re: Braquistocrona y aceleración en función de la posición

Si algo huele muy mal

Para el tiempo $t =2\pi$ tendriamos $y'(t) =0$ y así $C=0$ el mismo apunte indica que esto sucede solamente en caída libre, pero evidentemente y'(t) es una sinusoide y pasara por cero cada $\pi$ segundos... quiza estamos fuera de los limites de la curva para el rango tiempo de problema, no lo sé....

Me lo miro con mas detenimiento ya que el apunte de la wikipedia también usa la misma constante,pero no dice como obtenerla, pero la función a integrar le queda distinta C esta al cuadrado.

A ver Alriga, en la wikipedia el desarrollo de las ecuacion de por el método de Euler lagrange llega a

$$\frac{1}{\sqrt{2gy}{\sqrt{1+y'^2}}} = C$$

Que nunca da cero como sería lógico... es decir el apunte de la UAM esta mal

hagamos $t=2\pi$ segundos

$x(t)=t-\sin(-t)=2\pi$

$y(t)=1-\cos(-t)=1$

$y'(t)=-\sin(-t)=0$

reemplazando esto en 1

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Con esto la pendiente de la curva queda

$<br /> \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{\frac{1}{2gC^2y}-1}<br />$

La curva queda definida parametricamente como


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
de donde por elección propia

$1= \cfrac{1}{4gC^2}$


luego la integral quedaría (en el apunte de la Uam se comen el cuadrado)

$<br /> T=\dst\int_0^H\sqrt{\dfrac{1+\left(\sqrt{\frac{1}{2gC^2y}-1}\right )^2}{2gx}}\dd x=\dst\int_0^H\sqrt{\dfrac{1+\left(\sqrt{\frac{1}{y}-1}\right )^2}{2gx}}\dd x<br />$

y para resolverla no se como dejarla en función de x solamente ya que no puedo obtener y(x) , es como querer saber que fue lo que existió primero un huevo o una gallina,

[Alriga]

Re: Braquistocrona y aceleración en función de la posición

... hagamos $t=2\pi$ segundos ...

Observa que "t" no es el tiempo en segundos, es el parámetro de las ecuaciones paramétricas y por lo tanto un número real sin dimensiones, (que si se desea se puede asimilar a un ángulo)

$T=\dst\int_0^H\sqrt{\dfrac{1+\left(\sqrt{\frac{1}{2gC^2y}-1}\right )^2}{2gx}} \ \dd x$

y para resolverla no se como dejarla en función de x solamente ya que no puedo obtener y(x) ...

Se me ocurre que se puede dejar todo en función del parámetro "t" puesto que se podría sustituir:

$y = \cfrac{1}{4gC^2}(1-\cos t)$

$x= \cfrac{1}{4gC^2}(t-\sin t)$

$\dd x=\cfrac{1}{4gC^2}(1-\cos t)$

Pero más importante, ¿estás seguro de que la integral $T=\dst\int_0^H\sqrt{\dfrac{1+\left(\sqrt{\frac{1}{2gC^2y}-1}\right )^2}{2gx}} \ \dd x$ es correcta?

Porque me parece que en esa integral el denominador es la del la UAM. La que correspondería al desarrollo de la Wikipedia que has utilizado en este post, entiendo que debería ser otra, ya que en la UAM la aceleración de la gravedad "g" va en el sentido del eje "x" mientras que en la Wikipedia va en el sentido del eje "y":

UAM: $v=\sqrt{2gx}$

Wikipedia: $v=\sqrt{2gy}$

Y creo que para la Wikipedia el límite superior de integración ya no puede ser la altura "H" sino la coordenada $x_H$ a la que le corresponde $y=H$

Saludos.

[BlackCamilo]

Re: Braquistocrona y aceleración en función de la posición

Hola a ambos, pues queria mencionarles que estoy haciendo el proceso de la velocidad y el tiempo de las diferentes curva mediante las ecuaciones de euler lagrange donde si hablamos de una lineal me queda que:

$y=ax$
$\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\partial }{\partial t}(\frac{\partial L}{\partial \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t}})=0$
$\vec{v}={\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t }}^{ 2}+{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t }}^{ 2}$
$L=\frac{1}{ 2}m({\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t }}^{ 2}+{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t }}^{ 2})+mgax$

Y pasando directamente me quedan las dos ecuaciones de movimiento:

$m\frac{{\mathrm{d}}^{ 2} x}{{{\mathrm{d} t}^{ 2} }}+mga=0$
$m\frac{{\mathrm{d}}^{ 2} y}{{{\mathrm{d} t}^{ 2} }}+mg=0$

Creo que hasta ahi esta bien, pero pues ahora que tengo la ecuacion de movimiento, no se exactamente como encontrar la ecuacion de $x(t)$ y $y(t)$ la cual me daria la posicion y a partir de eso si poder sacar la ecuacion de velocidad si es necesaria, muchas gracias por su ayuda.

[Richard R Richard]

Re: Braquistocrona y aceleración en función de la posición

Observa que "t" no es el tiempo en segundos, es el parámetro de las ecuaciones paramétricas y por lo tanto un número real sin dimensiones, (que si se desea se puede asimilar a un ángulo)

Estamos analizando velocidades y aceleraciones, que surgen de la conservación de la energía cinetica, en este caso t es tiempo, si bien se puede reemplazar por un angulo como tu dices , pero creo que lo puedes hacer cuando lo que quieres representar el el dibujo de la trayectoria, pero aquí si interesa cuantos puntos dibujo por unidad de tiempo, que es el tiempo transcurrido mientras cae el móvil sobre la curva...

Pero más importante, ¿estás seguro de que la integral $T=\dst\int_0^H\sqrt{\dfrac{1+\left(\sqrt{\frac{1}{2gC^2y}-1}\right )^2}{2gx}} \ \dd x$ es correcta?

Porque me parece que en esa integral el denominador es la del la UAM. La que correspondería al desarrollo de la Wikipedia que has utilizado en este post, entiendo que debería ser otra, ya que en la UAM la aceleración de la gravedad "g" va en el sentido del eje "x" mientras que en la Wikipedia va en el sentido del eje "y":

UAM: $v=\sqrt{2gx}$

Wikipedia: $v=\sqrt{2gy}$

Y creo que para la Wikipedia el límite superior de integración ya no puede ser la altura "H" sino la coordenada $x_H$ a la que le corresponde $y=H$

Saludos.

llevas razón, entre como caballo ciego, y mezcle las ecuaciones de unos, con los de los otros, Excusa aparte...Ahora quien pone el eje x en la vertical???? solo la wikipedia por dios.


Aver si salimos del atolladero


Planteamos la conservación de la energía mecánica para la partícula de masa m descendiendo . sistema de referencia x horizontales y verticales y positivas hacia abajo, y=H_o-H

$\frac 12 mv^2=mg y$

de aqui

$v=\sqrt{2gy}$

no se exactamente como encontrar la ecuacion de $x(t)$ y $y(t)$ la cual me daria la posicion y a partir de eso si poder sacar la ecuacion de velocidad si es necesaria, muchas gracias por su ayuda.

la deduccion de las curvas de la cicloide se puede ver aqui , http://historiasdematematicas.blogsp...de-johann.html



Perfecto!!! pero nadie justifica que el tiempo es mínimo (imagino que la cosa va por derivar e igualar a cero, y aplicar el teorema fundamental del cálculo a la función tiempo)

y par ello el tiempo de descenso se puede encontrar aqui http://cienciacomonunca.blogspot.com...istocrona.html aunque no esta clara la deducción

pero de propio digo que se puede arribar a

$t=\dfrac{1}{\sqrt{2g}}\displaystyle\int_O^A{\sqrt{\dfrac{1+\left(\frac{\mathrm{d x} }{\mathrm{d y} }\right )^2}{y}} dy}$

donde A es un punto dentro de la trayectoria con origen en O.

Yo creo que esto surge del calculo de las longitudes de arco de cualquier curva que se realiza como

$s =\dst \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left [ f' \left ( x \right ) \right ] ^2} \, dx$

ahora bien para obtener tiempos debo convertir cada elemento infinitesimal de espacio a uno de tiempo dividiéndolo por la velocidad instantánea $v$

$t =\dst \int_{a}^{b} \dfrac{\sqrt{1 + \left [ f' \left ( x \right ) \right ] ^2}}{v} \, dx$

reemplazando lo que vale la velocidad $v=\sqrt{2gy}$

$t =\dst \int_{a}^{b} \dfrac 1{\sqrt{2g}}\dfrac{\sqrt{1 + \left [ f' \left ( x \right ) \right ] ^2}}{\sqrt{y}} \, dx$

o bien

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que era a lo que quería llegar más o menos de nuevo me queda mal el diferencial.....pero si entendemos que es arbitrario llamar x o y a las coordenadas.

pues da lo mismo medir el arco haciendo

$s =\dst \int_{x_a}^{x_b} \sqrt{1 + \left [ f' \left ( x \right ) \right ] ^2} \, dx$ donde $f'=\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d}x }$

o haciendo

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] donde[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

ya que se trata de la misma curva.

[Alriga]

Re: Braquistocrona y aceleración en función de la posición

... estoy haciendo el proceso de la velocidad y el tiempo de las diferentes curva mediante las ecuaciones de euler lagrange donde si hablamos de una lineal...

BlackCamilo, el caso lineal es muy sencillo, pues se trata de un movimiento uniformemente acelerado, solo hace falta calcular la aceleración. Supongamos que el móvil parte del origen, que es el punto (0, 0) y va por un plano inclinado al punto $(x_0, \ -h)$ ¿Cuanto tarda?

Llamo $\alpha$ al ángulo del plano inclinado:

$\tan \alpha=\dfrac h {x_0}$

$$\sin \alpha=\dfrac h{\sqrt{x_0^2+h^2}}$$

Hallando la proyección del peso en la dirección del plano inclinado y aplicando la 2ª ley de Newton:

$m g \sin \alpha=m \ a$

$a=g \ \sin \alpha$ (La aceleración es constante)

$v(t)=a \cdot t=g \sin \alpha \ t$

$s(t)=\dfrac 1 2 \ a t^2$

$s(t)=\dfrac 1 2 \ g \sin \alpha \ t^2$

El espacio "s" recorrido entre los puntos (0, 0) y $(x_0, \ -h)$ es:

$s=\sqrt{x_0^2+h^2}$

Y el tiempo "T" que tarda se obtiene de:

$$\sqrt{x_0^2+h^2}=\dfrac 1 2 \ g \sin \alpha \ T^2$$

Sustituyendo (1) en (2) y despejando el tiempo:

$$T=\sqrt{\dfrac{2 \ (x_0^2+h^2)}{g \ h}}$$

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Braquistocrona y aceleración en función de la posición

A ver si sale por mi método

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

sabemos que

$\frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d}y}=\tan \beta=\dfrac{X_o}h=Cte$

reemplazando en la integral con los parametros del problema

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


$t = \dfrac 1{\sqrt{2g}}\sqrt{1 +\left(\dfrac{X_o}h \right )^2}\dst \int_{0}^{h}\sqrt{\dfrac 1{y}} \, dy$

$t = \dfrac {\sqrt{1 +\left(\dfrac{X_o}h \right )^2}}{\sqrt{2g}}2\sqrt{y}\vert_{0}^{h}$

$t = \sqrt{\dfrac {h^2 +X_o^2}{2gh^2}}2\sqrt{h}$

$t = \sqrt{\dfrac {(h^2 +X_o^2) 4h}{2gh^2}}$ simplificando

$\boxed{t = \sqrt{\dfrac{2(h^2 +X_o^2)}{gh}}=1.189s }$

entre (0,0)y(pi,2)





para $y =\dfrac 2{\pi^2} x^2 \quad \to\quad x=\pi\sqrt{\frac y2}\quad \to\quad \frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d}y}=\frac{\pi}{\sqrt {8y}}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que buscare porque no converge a un resultado (era porque hay velocidad nula en los extremos) acotando a $0.01\cong=0$
da t=1.5s segun wolfram








para la braquistocrona espero no equivocarme

$x=t-\sin(-t)$

$y=1-cos(-t)$

de donde

$t=-\arccos (1-y)$

$x=-\arccos (1-y)-\sqrt{1-(1-y)^2}$

de donde

$\dfrac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d}y}=\dfrac y{\sqrt{1-(1-y)^2}}$

entonces hay que resolver


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


que se puede desarrollar hasta

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

mientras $y\leqslant2$ y $h\leqslant2$ que debería darte menor que las integrales anteriores.

segun wofram

$t=\dfrac{\pi}{\sqrt g}=1.003 s$

Saludos