[alexpglez]

Hola lorentz, se me estropeó el móvil justo cuando te iba a escribir, así que lo escribo por aquí. Iba a decirte que he intentado sacar la ecuación de onda para una cuerda que se estira idealmente, formando visualmente dos funciones lineales.
La ecuación de onda es:

$$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}$$

Donde v es la velocidad de propagación.
El método de separación de variables, también llamado de fourier consiste en buscar una solución:

$$u(x,t)=X(x)T(t)$$

Por tanto en la ecuación queda:

$$X'' T=\frac{1}{v^2} T'' X$$

O:

$$\frac{X''}{X}=\frac{T''}{v^2 T}$$

Ahora bien, para que sean iguales una función que depende de x y otra que depende de t, tienen que ser iguales a una constante.

$$\frac{X''}{X}=\frac{T''}{v^2 T}=-h^2$$

Con signo - que ahora explico,
Con esto sacas dos ecuaciones:

$$X''=-h^2X$$

$$T''=-h^2v^2T$$

Buscando una solución exponencial, $e^{kx}$
Saco que:

$$k^2e^{kx}=-h^2e^{kx}$$

$$k=+-ih$$

Ahora bien, si expresamos la solución como combinación lineal, nos va a quedar una solución aparentemente compleja, con constantes que deberán ser complejas también para que la solución finalmente sea real.
Se puede ver por ejemplo con el movimiento armónico simple, determinando las constantes y simplificando quedan funciones senos y cosenos. Por tanto las soluciones que quedarán serán.

$$X=A\cos kx + B\sin kx$$

$$T=C\cos kvt + D\sin kvt$$

Ahora vamos con las condiciones. Para hacerlo más sencillo tomemos un sistema de referencia en donde el inicio de la cuerda esté en la posición 0 y el final l. Sabemos que en estos puntos no se levanta la cuerda, por tanto:

$$u(0,t)=u(l,t)=0$$

También vamos a dar dos funciones más, la primera la posición inicial de cada punto de la cuerda (recordemos que u es lo que se levanta la cuerda en este caso), y la segunda la velocidad inicial. Es decir:

$$u(x,0)=s(x)$$

$$\frac{\partial u(x,0)}{\partial t}=v(x)$$

Vamos con las primeras condiciones, es para cualquier t, y como t no se hace cero, podemos excluir el término T.

$$X(0)=A=0$$

$$X(l)=B\sin kl=0$$

$$k=\frac{n\pi}{l}$$

Donde n es un número natural. Por lo que la solución nos queda:

$$u_n=\sin \frac{n\pi}{l}x (C_n\cos \frac{n\pi}{l}vt + D_n\sin \frac{n\pi}{l}vt)$$

Donde B está incluida en C y D, ahora bien, esa es la solución para un n concreto, la solución debe de ser un sumatorio de todos n.
Si en vez de -h^2 cogiésemos h^2, nos quedaría.

$$X=Ae^{kx} + Be^{-kx}$$

Donde a ningún punto se hace 0 y no cumpliría las condiciones impuestas.
La solución por tanto sería:

$$u=\sum_{n=1}^{\infty}\sin \frac{n\pi}{l}x (C_n\cos \frac{n\pi}{l}vt + D_n\sin \frac{n\pi}{l}vt)$$

Pasemos a analizar las otras condiciones:

$$u(x,0)=s(x)=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\sin \frac{n\pi}{l}x$$

Dónde C_n sería un coeficiente de la serie de fourier, y sacamos que:

$$C_n=\frac{2}{l}\int_{0}^l s(x)\sin \frac{n\pi}{l}x \dd x$$

Derivamos la expresión:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\sum_{n=1}^{\infty}\sin \frac{n\pi}{l}x (-\frac{n\pi}{l}vC_n\sin \frac{n\pi}{l}vt + \frac{n\pi}{l}vD_n\cos \frac{n\pi}{l}vt)$$

Por lo que:

$$\frac{\partial u(x,0)}{\partial t}=v(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\pi v}{l}D_n\sin \frac{n\pi}{l}x$$

Sacamos que:

$$D_n=\frac{2}{n \pi v}\int_{0}^l v(x)\sin \frac{n\pi}{l} \dd x$$

El problema que tenía era calcular la integral, aunque es fácil, es larga y me lío (xD), supongo que tengo que practicar más.
En el caso que suponía era que no hay velocidad en el primer instante

$$v(x)=0$$

Por lo que D es 0.
Y en el instante inicial estiro de la cuerda en un punto a, una amplitud A, y se forman dos funciones lineales, antes y después del punto.

$$u_1 (0,t)=\frac{A}{a}x \;\;\;\; 0<x<a$$

$$u_2 (0,t)=A-\frac{A}{l-a}(x-a)=\frac{A}{l-a}(l-x) \;\;\;\; a<x<l$$

Es fácil pero largo, por las propiedades de la integral tienes que dividirla en estas dos partes, y eso. Te digo cuando tenga el resultado.
PD: Tendré que practicar bastante más la integración..
Un saludo