Electrodinamica de los medios continuos

[Locke]

En este ejercico me esta dando problemas el primer apartado:

Dos electrodos de placas paralelas con separacion $l$ encierran un dielectrico de permitividad $\varepsilon$ y estan sometidos a un voltaje escalon en $t=0$. A continuacion se inyecta carga positiva en $t=0$ desde el electrodo inferior con movilidad $\mu$, y esta viaja hacia el electrodo negativo.

a)Utilizando la ecuacion de la conservacion de la carga, demuestre que la ecuacion que rige el movimiento es

$\frac{ \partial E}{ \partial t} + \mu E \frac{ \partial E}{ \partial x} = \frac{J(t)}{ \varepsilon}$

donde $J(t)$ es la corriente por unidad de area electrodica a traves de los alambres terminales. Esta corriente no depende de $x$

De momento es el apartado que no me sale, espero que los dema me salgan sin problemas :roll:

[pod]

Supongo que $E$ será el campo eléctrico, óbviamente... pero como defines la movilidad $\mu$? Parece estar relacionada con la conductividad $\sigma$ (donde $J = \sigma E$).

[Locke]

Es verdad, se me olvido mencionar eso. La movilidad esta relacionada con la velocidad del frente de carga de manera: $v=\mu E$

Estaba pensando que partiendo de la diferencial de $E$ se llega a :

$\dst dE = \frac{\partial E}{\partial x}dx + \frac{\partial E}{\partial t}dt$

Entonces:

$\dst \frac{dE}{dt}=\frac{\partial E}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial E}{\partial t}$

como $\dst \frac{dx}{dt}=v=\mu E$ y $\frac{dE}{dt}=\frac{1}{\epsilon} \frac{dD}{dx}$ me quedaria:

$\dst \mu E \frac{\partial E}{\partial x}+\frac{\partial E}{\partial t} = \frac{1}{\epsilon} \frac{dD}{dx}$

que se va a cercando bastante a lo que buscamos y aplicando aqui el teorema de la conservacion de la carga me hago un lio y no me sale :P
De todas maneras estoy pensando que se debe partir de la ecuacion de movimiento, que seria lo logico no?

[pod]

Creo que la derivada sobre D debe ser temporal en tu cálculo: D es proporcional a E.

Te dicen que utilices la conservación de la energía, pues hagamoslo... la densidad de energía es

$E_{\textrm{e.m.}} = \frac12 \epsilon E^2 + \frac1{2\mu} B^2 \ ,$

y su derivada temporal debe ser nula

$0 = \epsilon \vec{E}\cdot \frac{d\vec{E}}{dt} + \frac1{\mu} \vec{B}\cdot \frac{d\vec{B}}{dt} \ .$

Con la derivada temporal total de E puedes hacer lo mismo que en tu cálculo anterior. Para deshacerte de B sospecho que puedes utilizar la ley de Ampere y la identidad vectorial

$\nabla \cdot ( \vec{E} \times \vec{B} ) = \vec{E} \nabla \times \vec{B} + \vec{B} \nabla \times \vec{E}\ ,$

donde el producto vectorial del campo eléctrico y el magnético es nulo (E es paralelo a la velocidad de las cargas en nuestro ejemplo, y B siempre es perpendicular a la velocidad).

Masajeando todo esto creo que al final lo conseguirás! Suerte

[aLFRe]

Tché...Tché...
Problema 41 del Teoría Electromagnética de Markus Zahn.
¿Electrodinámica de Medios Contínuos?
Eso es quinto... ya queda menos para terminar...

Hay que mirarse la teoría... capítulo 3 y especialmente página 201
y siguientes por mi edición, que "casi lo mismito" viene resuelto.
Engloba el electrodo de inyección, x=0 en un paralelepípedo de base A y altura x
y aplica la ecuación de continuidad:
J(x,t ) A - J(0,t ) A = - dQ/dt = - epsilon A parcial E/parcial t
por otra parte
J(x,t ) = rho(x) v
y ya lo tienes
con v = mu E
que creo que es lo mismo que tu habías puesto
solo que sin meter el desplazamiento eléctrico.


Un saludo y recuerdos a A. Castellanos si estas en la US.

PD- Olvídate de B puesto que estas en Electrocuasiestática...