1r ciclo Inductancia de una bobina

[Al2000]

¿Alguien sabe de dónde se origina esta fórmula para calcular la inductancia de una bobina monocapa con núcleo de aire?

$\dst L_b=\frac {R^2 N^2}{9R+10L}$

donde $R$ y $L$ se dan en pulgadas y la inductancia resulta en microhenrys.

Saludos,

Al

[Alriga]

Re: Inductancia de una bobina

Hoy por casualidad he encontrado este hilo antiguo que en su día no tuvo respuesta. No sé si Al2000, el creador del mismo, todavía puede estar interesado, pero como el hilo ha tenido más de 1700 visitas me he decidido a responder.

El origen de esa fórmula que permite calcular la inductancia de una bobina cilíndrica de una sola capa con núcleo al aire, está en la ecuación de la Inductancia de un solenoide de longitud muy grande en relación a su área transversal, ("solenoide largo y estrecho") ecuación cuya deducción puede hallarse en numerosa bibliografía, por ejemplo aquí en la Wikipedia: Inductancia Solenoide

$L=\mu_0 \dfrac A a N^2$

En donde

$\mu_0$ es la permeabilidad

"a" es la longitud del solenoide

"A" es la sección transversal del solenoide

"N" es el número de espiras.

Si la sección es circular de radio "r", la ecuación anterior se transforma en:

$L=\mu_0 \dfrac{\pi r^2}{a} N^2$

Como esta fórmula falla bastante para solenoides cortos en relación a su diámetro, si se desea mejorar la precisión se multiplica la expresión anterior por una función "k" empírica del ratio entre el radio y la longitud

$L=\mu_0 \dfrac{\pi r^2}{a} N^2 \cdot k$ en donde $\dst k=k \left ( \dfrac r a \right )$

Hay muchas funciones posibles $\dst k=k \left ( \dfrac r a \right )$ cuya definición es empírica. Pero todas ellas han de tener en común que el límite de $\dst k \left ( \dfrac r a \right )$ para $\dfrac r a$ tendiendo a cero ha de ser 1.

La fórmula que estamos considerando y que se publicó por primera vez por Wheeler hace unos 90 años, empieza suponiendo que es una buena aproximación:

$k=\dfrac{1}{1+0.9 \cdot \dfrac r a}$

Sustituyendo en la ecuación de la inductancia y operando:

$$\boxed{L=\mu_0 \ \pi \cdot 10 \ \dfrac{r^2 N^2}{9r+10a}}$$

Esta fórmula encuadrada se puede utilizar para calcular el coeficiente de autoinducción en las unidades del Sistema Internacional. Para pasar a pulgadas:

$\mu_0=4 \cdot \pi \cdot 10^{-7} \dfrac H m \cdot \dfrac{0.0254 \ m}{1 \ inch}$

Sustituyendo:

$L=4 \cdot \pi \cdot 10^{-7} \cdot 0.0254 \cdot \pi \cdot 10 \ \dfrac{r^2 N^2}{9r+10a}$

En donde el radio y la longitud se deben expresar en pulgadas, (inch) Haciendo las multiplicaciones:

$L=\notcien{1.00275}{-6} \ \dfrac{r^2 N^2}{9r+10a}$

Y finalmente, hacemos la aproximación $1.00275 \simeq 1$

Por lo tanto, poniendo el radio “r” y la longitud “a” del solenoide en pulgadas:

$$\boxed{L \ (\mu H)=\dfrac{r^2 N^2}{9r+10a}}$$

Que es la conocida fórmula que aparece en la literatura, a la que se le atribuye una precisión del 1% para solenoides en los que $a > 0.8 r$

Si queremos ser rigurosos, hay que tener en cuenta que cuando hemos hecho la aproximación $1.00275 \simeq 1$ ello lleva implícito que en realidad la función "k" ya no es

$k=\dfrac{1}{1+0.9 \cdot \dfrac r a}$

Sino que es $k \simeq \dfrac{1}{1+0.9004 \cdot \dfrac r a}$

Hoy en día existen otras funciones empíricas $\dst k \left ( \dfrac r a \right )$ más complicadas que la aquí considerada, que ofrecen mayor precisión.

Saludos.

EDITADO: Relacionado, para hacer el cálculo de la inductancia de una bobina plana en espiral monocapa de forma circular se utiliza una versión modificada de la fórmula de Harold A. Wheeler, ver Calculadora de la inductancia de bobinas planas en espiral, de aplicaciones NFC/RFID

Ver también Simple Accurate Expressions for Planar Spiral Inductances (Sunderarajan S. Mohan, Maria del Mar Hershenson, Stephen P. Boyd, and Thomas H. Lee)