1r ciclo Errores.

[arreldepi]

Hola, una pregunta, qué sucede si el error de una menida es menor que las cifras significativas que tenemos de la medida?

Os dejo el caso que tengo, sé que el período de una oscilación tiene un error de $\pm 0,01 s$, y tengo que calcular $d$ (que es la longitud de la varilla del péndulo + la mitad de la longitud del cilindro que ponemos como masa) en función de $\left({\frac{T}{2\pi}}\right)^2$ para calcular el valor de la gravedad. Lo que hago es calcular el error relativo

$$\varepsilon_d = \varepsilon_{{T^2}/{4\pi^2}} = 2\varepsilon_{T}$$

y me queda que

$$\varepsilon_d = 2\left({\frac{0,01}{1,544}}\right) = 0,0129$$

(el 1,544 s es el valor del período obtenido)

entonces, el error sería

$$\delta_d =x_d \cdot \varepsilon_d= 0,06\cdot 0,0129 = 0,00077 s$$

está bien calculado? En este caso, el error que debería poner cuál es? 0,01?

Gracias!

[pod]

Re: Errores.

Hola, una pregunta, qué sucede si el error de una menida es menor que las cifras significativas que tenemos de la medida?

No tiene porqué suceder nada. Si la magnitud que estás midiendo puede tener los dos signos, significa que el valor real está en el intervalo dado (es decir, queda cierta probabilidad de que tenga cualquiera de los dos signos). De hecho, esto es lo que te pasará siempre que intentes medir experimentalmetne una magnitud cuyo valor real sea cero.

Si sabemos que el valor real no puede ser cero (como en el ejemplo que pones; la distancia no puede ser cero), entonces si el error te sale mayor que la medición... tu medición es una chufa

Os dejo el caso que tengo, sé que el período de una oscilación tiene un error de $\pm 0,01 s$, y tengo que calcular $d$ (que es la longitud de la varilla del péndulo + la mitad de la longitud del cilindro que ponemos como masa) en función de $\left({\frac{T}{2\pi}}\right)^2$ para calcular el valor de la gravedad. Lo que hago es calcular el error relativo

$$\varepsilon_d = \varepsilon_{{T^2}/{4\pi^2}} = 2\varepsilon_{T}$$

y me queda que

$$\varepsilon_d = 2\left({\frac{0,01}{1,544}}\right) = 0,0129$$

(el 1,544 s es el valor del período obtenido)

entonces, el error sería

$$\delta_d =x_d \cdot \varepsilon_d= 0,06\cdot 0,0129 = 0,00077 s$$

está bien calculado? En este caso, el error que debería poner cuál es? 0,01?

Gracias!

Estoy un poco perdido. ¿Qué haces tú directamente, y qué magnitudes calculas a partir de estas? ¿La gravedad la tomas como una magnitud conocida, o es lo que quieres calcular?

Si tú mides experimentalmente el periodo, das como conocida la gravedad y quieres obtener la longitud del péndulo, entonces debes usar la ecuación

$$\ell = g \left( \frac{T}{2\pi} \right)^{\!2} ,$$

y la propagación de errores te da

$$\delta \ell = g \frac{T \ \delta T}{2 \pi^2} .$$

Si lo que haces es medir longitud y periodo experimentalmente, y quieres calcular la gravedad, entonces tienes

$$g = 4\pi^2 \frac{\ell}{T^2} ,$$

cuyo error será (tomando ambas mediciones como independientes),

$$\delta g = 4\pi^2 \sqrt{ \left( \frac{\delta \ell}{T^2}\right)^{\!2} +<br /> \left( \frac{2 \ell \ \delta T}{T^3}\right)^{\!2} }.$$

[arreldepi]

Re: Errores.

No tiene porqué suceder nada. Si la magnitud que estás midiendo puede tener los dos signos, significa que el valor real está en el intervalo dado (es decir, queda cierta probabilidad de que tenga cualquiera de los dos signos). De hecho, esto es lo que te pasará siempre que intentes medir experimentalmetne una magnitud cuyo valor real sea cero.

Si sabemos que el valor real no puede ser cero (como en el ejemplo que pones; la distancia no puede ser cero), entonces si el error te sale mayor que la medición... tu medición es una chufa

Hola, con esto me refería a si, por ejemplo, yo tengo que una distancia es de 25,34m con un error de 0,01m y luego si calculo (no lo mido directamente) otra distancia me sale que el error con el que la mido es de 0,001m qué tendría que hacer, dejar 0,01? porque se supone que no puedo tener más precisión ya que mi aparato no da para tanto. En el caso de mi ejemplo no tenía sentido porque me estaba confundiendo con las unidades. Lo que tengo que hacer es la gráfica de $d$ en función de $\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2$ y no sabía qué error era el correspondiente a $\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2$ que es lo que he calculado en el post anterior.

Qué debería poner: 0,001 $s^2$?

Estoy un poco perdido. ¿Qué haces tú directamente, y qué magnitudes calculas a partir de estas? ¿La gravedad la tomas como una magnitud conocida, o es lo que quieres calcular?

Si tú mides experimentalmente el periodo, das como conocida la gravedad y quieres obtener la longitud del péndulo, entonces debes usar la ecuación

$$\ell = g \left( \frac{T}{2\pi} \right)^{\!2} ,$$

y la propagación de errores te da

$$\delta \ell = g \frac{T \ \delta T}{2 \pi^2} .$$

Si lo que haces es medir longitud y periodo experimentalmente, y quieres calcular la gravedad, entonces tienes

$$g = 4\pi^2 \frac{\ell}{T^2} ,$$

cuyo error será (tomando ambas mediciones como independientes),

$$\delta g = 4\pi^2 \sqrt{ \left( \frac{\delta \ell}{T^2}\right)^{\!2} +<br /> \left( \frac{2 \ell \ \delta T}{T^3}\right)^{\!2} }.$$

Me he vuelto a leer lo que escribí y me expresé bastante mal xD. Es lo que dices tú, yo sé el período y la longitud de la varilla (bueno, en realidad es la longitud de la varilla + la mitad de la longitud de la masa que colgamos, que están medidas con errores diferentes) y tengo que calcular la gravedad.

Entonces, lo que hago es:

1. Calcular el error de $d$, que es $\delta \ell + \frac 12 \delta h$, donde $h$ es la altura de la masa. Como son independientes hago la suma cuadrática

$$\delta h = \sqrt{\delta \ell ^2 + \frac 14 \delta h ^2} =0,001m$$

ya que el error de la altura es de 0,005 cm (lo medimos con un pie de rey) y el de la varilla de 0,1 m.

2. Calculo el error de $\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2$, que me da lo que he indicado antes, 0,007$s^2$.

Entonces, yo lo que haría es la suma cuadrática de errores relativos:

$$\epsilon_g = \sqrt{\epsilon_d^2 + (2\epsilon_T)^2} = \sqrt{\left({\frac{0,001}{0,5935}}\right)^2 +\left({\frac{0,007}{1,544}}\right)^2} \approx 0,01$$

Los valores de los denominadores son los que he obtenido experimentalmente para $d$ y $T$.

El valor de la gravedad que obtengo experimentalmente es: 9,8371 $m/s^2$.

Con lo cual el error debería ser $\delta_g = g_{exp}\cdot \epsilon_g = 0,128 m/s^2 \approx 0,1 m/s^2$

Bueno, más que los números me gustaría saber si el procedimiento es lógico, creo que es diferente a lo que has hecho tú, pero es que no acabo de ver de dónde sale la última fórmula, es que en el tema de errores aún me pierdo un poco .


Muchas Gracias!

[pod]

Re: Errores.

Hola, con esto me refería a si, por ejemplo, yo tengo que una distancia es de 25,34m con un error de 0,01m y luego si calculo (no lo mido directamente) otra distancia me sale que el error con el que la mido es de 0,001m qué tendría que hacer, dejar 0,01?

No, puede ser que el error de una magnitud derivada sea menor que el de la magnitud medida directamente. No hay problema en ello.

porque se supone que no puedo tener más precisión ya que mi aparato no da para tanto.

Pero no estas mejorando la precisión de tu medida directa. Eso sí que no puede ser. Por decirlo de una forma pedestre, la magnitud derivada es "poco sensible" a la precisión de la otra, así que una mala medición de la segunda, permite obtener una muy buena estimación de la primera.

Un ejemplo es lo que haces tú mismo: obtener el radio dividiendo el diámetro por dos. Al hacerlo, el error queda dividido por la mitad.

En general, cuando tú calculas una magnitud a partir de la medición de otra, lo que haces es tomar los datos experimentales y aplicar una función matemática. Esa función puede que tenga una derivada muy grande, por lo que una pequeña variación del argumento causa una gran variación del resultado (físicamente, aumentará mucho el error). O bien, puede tener una derivada muy pequeña, una variación de los valores no cambiará el resultado demasiado (se reducirá el error).

En el caso de mi ejemplo no tenía sentido porque me estaba confundiendo con las unidades. Lo que tengo que hacer es la gráfica de $d$ en función de $\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2$

Si haces una gráfica, significa que tienes varios puntos. En ese caso, lo mejor que puedes hacer es ajustar una recta. En ese caso, el programa de tratamiento de datos ya te suele dar el error (y sino te lo da, siempre puedes ir a los apuntes de clase donde probablemente tengas la fórmula).

1. Calcular el error de $d$, que es $\delta \ell + \frac 12 \delta h$, donde $h$ es la altura de la masa. Como son independientes hago la suma cuadrática

$$\delta h = \sqrt{\delta \ell ^2 + \frac 14 \delta h ^2} =0,001m$$

ya que el error de la altura es de 0,005 cm (lo medimos con un pie de rey) y el de la varilla de 0,1 m.

Supongo que el error en la medida de la varilla es 0,1 cm. Sino, te has equivocado en la cuenta (y utilizas una regla muy rara ).

2. Calculo el error de $\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2$, que me da lo que he indicado antes, 0,007$s^2$.

Si lo que te salía era 0,0077s², tienes que redondear a 0,008s².

Entonces, yo lo que haría es la suma cuadrática de errores relativos:

$$\epsilon_g = \sqrt{\epsilon_d^2 + (2\epsilon_T)^2} = \sqrt{\left({\frac{0,001}{0,5935}}\right)^2 +\left({\frac{0,007}{1,544}}\right)^2} \approx 0,01$$

Los valores de los denominadores son los que he obtenido experimentalmente para $d$ y $T$.

Diría que esto es correcto. Pero, ¿de donde sale el factor 2 de $\epsilon_T$? Y, ¿por qué desaparece después?

El valor de la gravedad que obtengo experimentalmente es: 9,8371 $m/s^2$.

Con lo cual el error debería ser $\delta_g = g_{exp}\cdot \epsilon_g = 0,128 m/s^2 \approx 0,1 m/s^2$

Bueno, más que los números me gustaría saber si el procedimiento es lógico,

Sí, yo creo que sí. Los números tienen buena pinta. Aunque, en este caso, tienes que aproximar el error a 0,13m/s² (no se descartan cifras si supone cambiar el valor en más de un 10%).

creo que es diferente a lo que has hecho tú, pero es que no acabo de ver de dónde sale la última fórmula, es que en el tema de errores aún me pierdo un poco .

Creo que es equivalente, pero aplicando la fórmula general te ahorras tener que calcular los errores de cada cosa paso a paso como has tenido que hacer tú.

Te voy a poner la fórmula general sin justificar, supongo que ya lo harás (o lo habrás hecho) en clase. Pero creo que con lo que dije antes de la derivada, ya puedes empezar a intuir el porqué.

Si $x$ es una magnitud de la que hemos obtenido $\bar x \pm \delta x$, entonces el error de la magnitud calculada $f = f(x)$ viene dado por

$$\delta f = \left. \frac{\dd f}{\dd x} \right|_{\bar x} \delta x .$$

En tu caso, tenemos una función de dos variables

$$g(\ell, T) = 4\pi^2 \frac{\ell}{T^2}.$$

El error debido a cada variable, se calcula como dijimos, y hacemos la suma gausiana,

$$\delta g = \sqrt{ \left( \frac{\partial g}{\partial T} \delta T \right)^{\!2} + \left( \frac{\partial g}{\partial\ell} \delta \ell \right)^{\!2} } .$$

Esto es lo que da la fórmula que di antes (si no me equivoqué derivando, que todo puede ser a mi edad ).

Sabiendo esto, si quieres, puedes divertirte comprobando que esta fórmula general reproduce correctamente las fórmulas que sabes de los casos más sencillo, como suma, división, producto, etc.

[arreldepi]

Re: Errores.

Muchas gracias!! Me ha quedado bastante claro, sobretodo lo de las derivadas que no lo había terminado de entender en clase.

Supongo que el error en la medida de la varilla es 0,1 cm. Sino, te has equivocado en la cuenta (y utilizas una regla muy rara ).

Sí, me he equivocado xD, era de 0,1cm.

Diría que esto es correcto. Pero, ¿de donde sale el factor 2 de $\epsilon_T$? Y, ¿por qué desaparece después?

Aquí me he olvidado de arrastrar el 2 en la ecuación, sale de que en el error relativo una constante no afecta, por lo tanto queda el error relativo del período al cuadrado, y el error relativo de una magnitud elevado a x, es x veces el error relativo:

$$\epsilon_{T^2/4\pi^2} = \epsilon_{T^2} = 2\epsilon_T$$

Creo que es equivalente, pero aplicando la fórmula general te ahorras tener que calcular los errores de cada cosa paso a paso como has tenido que hacer tú.

Te voy a poner la fórmula general sin justificar, supongo que ya lo harás (o lo habrás hecho) en clase. Pero creo que con lo que dije antes de la derivada, ya puedes empezar a intuir el porqué.

Si $x$ es una magnitud de la que hemos obtenido $\bar x \pm \delta x$, entonces el error de la magnitud calculada $f = f(x)$ viene dado por

$$\delta f = \left. \frac{\dd f}{\dd x} \right|_{\bar x} \delta x .$$

En tu caso, tenemos una función de dos variables

$$g(\ell, T) = 4\pi^2 \frac{\ell}{T^2}.$$

El error debido a cada variable, se calcula como dijimos, y hacemos la suma gausiana,

$$\delta g = \sqrt{ \left( \frac{\partial g}{\partial T} \delta T \right)^{\!2} + \left( \frac{\partial g}{\partial\ell} \delta \ell \right)^{\!2} } .$$

Esto es lo que da la fórmula que di antes (si no me equivoqué derivando, que todo puede ser a mi edad ).

Sabiendo esto, si quieres, puedes divertirte comprobando que esta fórmula general reproduce correctamente las fórmulas que sabes de los casos más sencillo, como suma, división, producto, etc.

Pues la verdad es que sí, es más fácil así y hay menos riesgo de equivocarse xD.


Gracias!!