2o ciclo El Grupo de Lorentz y RE

[Nissan]

Voy a hacer una pequenia exposicion de lo que es el Grupo de Lorentz y su relacion con la RE(motivada por debates en otros hilos) desde un punto de vista lo mas fisico posible y entrando en pocos detalles matematicos, (con lo que espero no sea movido al foro de matematicas)

El espaciotiempo en RE es una variedad 4 dimensional plana (esto se puede especificar matemáticamente de forma precisa) equipada con una métrica Lorentziana. Esto puede sonar un poco técnico, pero simplemente viene a decir dos cosas:

1) El espacio es $\mathbb{R}^4$ y cada suceso viene descrito por cuatro números $(x^0,x^1,x^2,x^3)^T$ (es mejor interpretarlo, en cierto sentido, como un vector columna, por eso pongo la $T$ de traspuesto) donde (en las unidades adecuadas) puedes identificar $x^0$ con el tiempo y el resto, $x^i$, con las coordenadas espaciales del suceso. Para abreviar se indica $x^{\mu}=(x^0,x^1,x^2,x^3)^T$.

2)La distancia (espaciotemporal) entre dos sucesos $x^{\mu}_1$ y $x^{\mu}_2$ es $s^2 = (x^0_1-x^0_2)^2-(x^1_1-x^1_2)^2-(x^2_1-x^2_2)^2-(x^3_1-x^3_2)^2$ y es un invariante Lorentz. Esto es muy importante; quiere decir que $s$ tiene el mismo valor para cualquier observador.

(Nota: se va a usar que para una variedad de Minkowski el espacio tangente en cada punto es isomorfo a la propia variedad espaciotempora. De hecho se podria decir que se ha usado implicitamente al escribir (2), pero no me meto por no introducir detalles matematicos)

Para que se vea mejor, un ejemplo: Imagínate que yo, desde mi sistema de referencia inercial, registro dos sucesos, a los que asigno coordenadas $(0,0,0,0)$ y $(2,1,0,0)$. Esto quiere decir que el primer suceso ha ocurrido en el punto $(0,0,0)$ espacialmente (en el origen de mi sistema de coordenadas), o si lo prefieres y yo estoy centrado en él, me ha ocurrido a mí) en el tiempo $t=0$, mientras que el segundo ha ocurrido en el punto espacial $(1,0,0)$ (a una unidad de distancia de mi) dos segundos después. Si calculamos la distancia espaciotemporal obtenemos $s^2=3$.

Ahora viene otro observador y dice que para él los sucesos han ocurrido en $(0,0,0,0)$ y en $(3,1,0,0)$. Con un simple cálculo ya sabes que eso es falso, porque si ahora calculas $s^2$ para este observador, te sale diferente al nuestro, y eso no puede ser, ya que es un invariante.

Ahora tenemos que establecer cuales son las reglas de transformación entre inerciales. Hemos dicho que $s^2$ es invariante, y eso precisamente es lo que deben respetar las transformaciones de Lorentz. A parte, impondremos que sean lineales. Deducimos pues, que nuestra transformación será de la siguiente manera (nos ahorramos las traslaciones por simplicidad):

$x^{'\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu} x^{\nu}$

Que no es más que la multiplicación de un vector $x^{\nu}$ por una matriz $\Lambda$, para dar un nuevo vector $x^{'\mu}$, que serán las coordenadas del suceso en  el nuevo sistema de referencia.
Matemáticamente, que $\Lambda$ deje invariante $s^2$, indica que $\Lambda$ pertenece al grupo $O(1,3)$, que no es mas que el grupo de las matrices que por definición deja invariante $s^2$. Esto se puede reformular de una manera un poco más apropiada, notando que $s^2 = x^T\eta x= \eta_{\mu\nu}x^{\mu}x^{\nu}$, donde $\eta$ es una matriz con un uno en el primer elemento de la diagonal, -1, en los restantes elementos de la diagonal, y 0 off diagonal. Sin entrar en detalles, y a partir de la última igualdad, se puede deducir que las matrices $\Lambda$ deben cumplir:

$\Lambda^{\dagger}\eta\Lambda=\eta$

El grupo $O(1,3)$ tiene cuatro componentes conexas, que están determinadas por dos homomorfismos de $O(1,3)$ en $(-1,1)$:

$\Lambda \rightarrow \det \Lambda$

$\Lambda \rightarrow sgn(\Lambda^0_0)$

El kernel del primer homomorfismo es el grupo de Lorentz especial $SO(1,3)$, y el kernel del segundo, es el orthocronus Lorentz group $O^{\uparrow}(1,3)$; que es el subgrupo de $O(1,3)$ que preserva la dirección del tiempo. El proper Lorentz group, que viene dado por:

$SO^{\uparrow}(1,3)=O^{\uparrow}(1,3)\cap SO(1,3)$

es la componente de $O(1,3)$ conexa con la identidad, y es el subgrupo de $O(1,3)$ que habitualmente se usa. Nótese también que el grupo $O(3)$, de rotaciones espaciales pertenece a $O^{\uparrow}(1,3)$, y el grupo $SO(3)$ a $SO^{\uparrow}(1,3)$.

El grupo de Lorentz es realmente un grupo de Lie, es decir, además de ser un grupo, tienes estructura de variedad y el producto en el grupo es una aplicación continua del grupo en sí mismo. Esto, permite definir el álgebra de Lie del mismo (y es aqui donde se puede demostrar directamente que contiene al grupo de rotaciones espaciales), generada por unos elementos $M_{\mu\nu}$, y escribir cada elemento de $SO^{\uparrow}(1,3)$ (ya que es conexo con la identidad) como una exponencial de un elemento apropiado del álgebra de Lie.

Hasta ahora hemos discutido el grupo de Lorentz actuando sobre Lorentz-vectores, es decir, sobre elementos que se transforman como la multiplicación por $\Lambda$ dada anteriormente. Pero podríamos considerar objetos, por ejemplo, que se transforman en la representación contragradiente de $O(1,3)$, que simplemente es la acción de $O(1,3)$ sobre el espacio dual de, en este caso $\mathbb{R}^4$, que se suele identificar con el espacio de momentos.