Olimpiada Propuesto, sobre bloques.

[Ulises7]

Uno de dinámica:

Según el sistema de bloques que se muestra en la figura, determine la aceleración del sistema si las
masas son m1 =5 Kg, m2 = 15 Kg, m3 =10Kg y el coeficiente de roce cinetico entre el bloque 3 y la
superficie es $\mu = 0,2$.

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre bloques.

Saludos =)

Mmm, nunca he hecho un ejercicio con bloques y poleas, pero intentare usar un poco la logica (aunque no garantizo nada)

La fuerza que actúa sobre el bloque 3, será la resta de las dos fuerzas que le hacen 1 y 2.
Por tanto:

$$F_2-F_1=F_{B3}=m_2 g- m_1 g=g(m_2-m_1)$$

Teniendo en cuenta que la fuerza resultante es la fuerza aplicada menos la fuerza de rozamiento:

$$F_{RES}=F_{B3}-R_{ROZ}=g(m_2-m_1)-m_3g\mu=g(m_2-m_1-\mu m_3)$$

Por tanto, la aceleración del sistema será:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Bueno no me fio mucho de mi resultado.
Gracias!! :d

Saludos

[arreldepi]

Re: Propuesto, sobre bloques.

Hola Angel, hay algunos errores. Te cuento cuál es el procedimiento general para problemas en los que actúan fuerzas de masa, ok?

1. Mirar en qué sentido se mueven los cuerpos, eso nos ayudará a saber qué dirección tomamos como positiva y cuál como negativa. En este caso, tenemos un coeficiente de fricción dinámico, así que seguro que el cuerpo se mueve (si te diesen también el estático tendrías que comprobar que la fricción estática $\equiv 0\leq f_e\leq \mu_e N$ es menor que el peso del cuerpo más másico). En este caso (puedes calcularlo), pero vemos directamente que como el cuerpo 2 tiene mayor masa, vencerá la inercia de los otros dos y se moverán a favor de él (es decir, las "poleas" giran en sentido horario).

2. Miras qué fuerzas actúan por separado sobre cada cuerpo. Esto es muy útil, y si le coges práctica, te ahorrará un montón de problemas con estos ejercicios. Vamos a ello:

Cuerpo 1: Sobre él actúa su peso (creado por la tierra) y la tensión que ejerce el cuerpo 3 sobre él que denotaremos por $T_{31}$ (tensión de 3 sobre 1), con lo cuál, si escribimos su ecuación de movimiento tendremos que:

$$T_{31}-m_1g = m_1a_1$$

Cuerpo 2: Lo mismo que para el 1, su peso y la tensión que ejerce el cuerpo 3 sobre él ($T_{32}$), en este caso, fíjate que el módulo del peso es positivo ya que va a favor del movimiento:

$$m_2 g- T_{32} = m_2 a_2$$

Cuerpo 3: Sobre este cuerpo actúan: el peso, la normal (que no es la reacción del peso, si no la fuerza de contacto creada por estar apoyada sobre una superfície), una fuerza de fricción que se opone al movimiento relativo de las superficies en contacto y la tensión que ejerce el cuerpo 1 sobre ella ($T_{13}$) y la del cuerpo 2 sobre ella ($T_{23}$). La tensión del cuerpo 2 favorece al movimiento de éste, y la de 1 y la fricción van en sentido contrario, con lo cual, si separamos las fuerzas verticales (y) y las horizontales (x), tenemos que:

$$T_{23}-T_{13}-f = m_3a_3$$

Asi que ya tenemos las ecuaciones de cada cuerpo planteadas.

3. Ahora viene lo bueno, vamos a sumar las ecuaciones de cada cuerpo para obtener una única ecuación que será la ecuación de movimiento de todo el sistema. Si lo haces, teniendo en cuenta que la tercera ley de newton nos dice que la fuerza que un cuerpo ejerce sobre otro es igual en módulo pero de sentido contrario (es decir $\vec T_{13} = -\vec T_{31};\;\;T_{13} = T_{31}$), verás que las tensiones tienen signos contrarios y por lo tanto, se anulan todas! Las tensiones son fuerzas internas y, por lo tanto, no influyen en el movimiento del sistema, así que nos queda:

$$m_2 g - f- m_1 g = m_1a_1+m_2a_2+m_3a_3$$

que es una ecuación con 3 incógnitas, verdad? $a_1,a_2,a_3$. Ahora necesitamos alguna cosa que nos las relacione. Vamos a pensar qué es lo que transmite el movimiento de un cuerpo a otro: la cuerda. Así que si la cuerda cumple una determinada propiedad (que todos los problemas de dinámica que realices en tu vida, como mínimo ESO y bachillerato, cumplirán) es que la cuerda es inextensible (y sin masa), con lo cual, todas las masas van a tener la misma aceleración (teniendo en cuenta que las poleas son ideales). Así que $a_1 = a_2 = a_3 \equiv a$

Con lo cual

$$m_2 g - f- m_1 g = (m_1+m_2+m_3)a$$

Y, si $f = \mu N = \mu m_3 g$ te queda

$$a = \frac{g(m_2-m_1-\mu m_3)}{(m_1+m_2+m_3)} = 2,61 m/s^2$$

Espero que hayas entendido la mecánica de este tipo de ejercicio!
Saludos!

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre bloques.

Muchas gracias, aunque hay varias cosas que no entendí

1. Mirar en qué sentido se mueven los cuerpos, eso nos ayudará a saber qué dirección tomamos como positiva y cuál como negativa. En este caso, tenemos un coeficiente de fricción dinámico, así que seguro que el cuerpo se mueve (si te diesen también el estático tendrías que comprobar que la fricción estática $\equiv 0\leq f_e\leq \mu_e N$ es menor que el peso del cuerpo más másico).

Mmm no he dado eso de la fricción estática

En este caso (puedes calcularlo), pero vemos directamente que como el cuerpo 2 tiene mayor masa, vencerá la inercia de los otros dos y se moverán a favor de él (es decir, las "poleas" giran en sentido antihorario).

En teoría, si es el cuerpo 2 el que tiene mayor masa, el bloque 3 de movería "hacia la derecha", es decir, las poleas girarian en sentido horario, ¿no?

Cuerpo 1: Sobre él actúa su peso (creado por la tierra) y la tensión que ejerce el cuerpo 3 sobre él que denotaremos por $T_{31}$ (tensión de 3 sobre 1), con lo cuál, si escribimos su ecuación de movimiento tendremos que:

$$T_{31}-m_3g = m_3a_3$$

Este paso tampoco lo entendí muy bien xD (lo siento), ya que si estamos haciendo las fuerzas que actual sobre el cuerpo 1, será el peso de 1, es decir: $P_1=m_1 g$ , no llegué a entender porqué pones: $m_3g$

Y bueno si entiendo eso creo que puedo seguir con lo demás.

Muchísimas gracias

Saludos!

[arreldepi]

Re: Propuesto, sobre bloques.

Mmm no he dado eso de la fricción estática

Cuando tienes que mover un armario, te cuesta lo mismo empezar a moverlo que seguir moviéndolo una vez has empezado? No, verdad? pues eso es porque la fricción estática (de cuando está parado) es mayor que la dinámica (cuando se mueve). Es decir, para empezar a mover es necesario aplicar una fuerza mayor que para seguir moviéndolo, con lo cual, los coeficientes de fricción dinámica y estática serán diferentes. No te preocupes que esto te lo explicarán con calma el año que viene .

En teoría, si es el cuerpo 2 el que tiene mayor masa, el bloque 3 de movería "hacia la derecha", es decir, las poleas girarian en sentido horario, ¿no?

Sí , esque mis relojes giran de forma rara xD.

Este paso tampoco lo entendí muy bien xD (lo siento), ya que si estamos haciendo las fuerzas que actual sobre el cuerpo 1, será el peso de 1, es decir: $P_1=m_1 g$ , no llegué a entender porqué pones: $m_3g$

porque me he vuelto a equivocar, tendría que ser:

$$T_{31}-m_1g = m_1a_1$$

Cualquier otra cosa, no dudes en preguntar!

Saludos!

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre bloques.

Vale, ahora lo entendí bien

Muchas gracias, un saludo

[Ulises7]

Re: Propuesto, sobre bloques.

Como lo ha puesto arreldepi es un modo correcto de hacerlo, es resolver el problema mirando cuerpo a cuerpo las fuerzas que actúan para luego sumar las ecuaciones, ver las relaciones entre ellas y hallar lo que se busca.

Pero hay otro método que es equivalente que casi es el que has hecho angel, consiste en mirar la ecuación global del movimiento del sistema ( realizando el diagrama de fuerzas ), de hecho para casos sencillos como éste es el método ideal ( por su rapidez ), vamos a ver cómo se hace correctamente:

Nos piden la aceleración, en virtud de la 2ª ley de Newton:

$$a = \dfrac{\sum_i F}{m}$$

Por tanto sólo tenemos que hallar las fuerzas que actúan sobre el sistema y con la expresión de arriba calculamos la aceleración, el primer paso es decidir el sentido del movimiento, puedes escoger que va hacia la izquiera o hacia la derecha, da igual, si te has equivocado en la elección aparecerá un signo menos en la aceleración resultante que indicará que el sentido real es el contrario.pero si analizamos un poco el sistema, vemos que el movimiento del cuerpo 3 depende de los pesos respectivos de los cuerpos 1 y 2 pero como el cuerpo 2 es más pesado que el 1 significará que el sistema se moverá hacia la derecha o que las poleas giran en sentido horario. Por tanto las fuerzas que "miren" hacia la derecha, el sentido de éstas, serán positivas y las que miren hacia la izquierda serán negativas, por tanto:

$$a = \dfrac{P_2 - F_f - P_1}{m} = \dfrac{m_2g - \mu m_3 g - m_1g}{m} =\dfrac{g ( m_2 - m_1 - \mu m_3 )}{m}$$

Directamente no ponemos las tensiones porque sabemos que se anulan, igual que el peso del cuerpo 3 con su normal. Ahora bien, la masa $m$ que hemos puesto es la del sistema y no la del cuerpo 3, es en ésto en lo que has errado ángel, si lo expresamos correctamente da el resultado esperado:

$$a = \dfrac{g ( m_2 - m_1 - \mu m_3 )}{m_1 + m_2 + m_3}$$

saludos

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre bloques.

:

$$a = \dfrac{P_2 - F_f - P_1}{m} = \dfrac{m_2g - \mu m_3 g - m_1g}{m} =\dfrac{g ( m_2 - m_1 - \mu m_3 )}{m}$$

Directamente no ponemos las tensiones porque sabemos que se anulan, igual que el peso del cuerpo 3 con su normal. Ahora bien, la masa $m$ que hemos puesto es la del sistema y no la del cuerpo 3, es en ésto en lo que has errado ángel, si lo expresamos correctamente da el resultado esperado:

$$a = \dfrac{g ( m_2 - m_1 - \mu m_3 )}{m_1 + m_2 + m_3}$$

Ajá, he ahí mi error. Como pensé que era el cuerpo 3 el que aceleraba, puse $m_3$.
No tomé que la aceleración es de TODO EL SISTEMA

muchas gracias

Saludos!