1r ciclo Duda sobre la dilatación del tiempo

[Gallinita amarilla]

Hoy he tenido un examen de mecánica y ondas y me han planteado el siguiente problema:

Un muón se mueve en el sistema de referencia K' a lo largo de su eje y' con una velocidad v'. A su vez, el sistema K' se mueve con respecto al sistema K en el sentido positivo del eje x con una velocidad V. Los ejes x', x de los dos sistemas de referencia coinciden; los ejes y', y son paralelos. Hallad la distancia que viaje el muón en el sistema K sabiendo que su tiempo de vida propio es t0.

Mi duda es: ¿Cuál es la relación entre el tiempo de vida propio del muón y el tiempo de vida de éste medido en el sistema K' en el que el muón se mueve a lo largo de y'?

Muchas gracias!

[GNzcuber]

Re: Duda sobre la dilatación del tiempo

Hola Gallinita amarilla,

Para empezar la relación que hay entre un sistema de referencia inercial y otro es $\dst t=\gamma\tau$, siendo tau el tiempo propio donde sucede un suceso, en este caso el tiempo de vida del muón.
Ya sabemos que el factor gamma viene relacionado por la velocidad relativa entre un sistema de referencia y otro:

$$\dst \gamma=\frac1{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac1{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$$

La velocidad relativa entre dos sistemas de referencia es:

$$\dst v_x=\frac{v_x'+u}{1+\frac{v'_xu}{c^2}}$$

Siendo u la velocidad del sistema de referencia y v' la velocidad del muón en este sistema. Y por tanto v será la velocidad del muón relativa a nosotros.

Si se mueve en el eje de y', hay que hacer una composición de movimientos, ya que:

$$\dst v_y=\frac{v'_y\sqrt{1-\beta^2}}{1+\frac{uv_x'}{c^2}}$$

Por lo tanto a la velocidad que nosotros veremos el muón será:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
¡Saludos!

Para comprobarlo he sustituido todas las velocidades por 0.99 y el resultado fue un número poco más grande que uno .

[Editado]: Creo ya saber dónde está mi error, y es que puse que en el sistema de referencia un móvil se estaba moviendo a 0.99c en horizontal y 0.99c en vertical, y por tanto la velocidad de ese móvil respecto el sistema K' es $\dst v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{(0.99c)^2+(0.99c)^2}=\sqrt{2}\cdot 0.99c>c$, es decir, he considerado una velocidad en K' mayor que la de la luz.

[pod]

Re: Duda sobre la dilatación del tiempo

@GNzcuber, la fórmula que has utilizado para la composición de velocidades sólo es válida cuando la velocidad del móvil es paralela a la del sistema de referencia (problemas unidimensionales). Este no es el caso, las velocidades son perpendiculares y hay otra fórmula,

$$v_\bot = \dfrac{v'_\bot}{\gamma \left( 1 - \frac{\vec v' \cdot \vec V}{c^2}\right)}$$

Ese $\gamma$ se debe calcular con V, claro.

@Gallinita, tal y como has puesto el enunciado, dices que el muón se mueve a una velocidad "v'" en el sistema K', y la pregunta es la relación entre el tiempo coordenado t' y el tiempo propio $\tau$. Por lo tanto, el sistema K no te hace falta para nada,

$$t' = \frac1{\sqrt{1 - (v'/c)^2}} \ \tau .$$

Ahora bien, si lo que quieres hacer es encontrar la relación entre el tiempo propio y el tiempo en el sistema K, entonces lo que tienes que usar es la velocidad en ese sistema, que tendrá dos componentes: la perpendicular (calculada antes), y la paralela que se calcula como puso GN,

$$v_\| = \dfrac{v'_\| - V}{1 - \frac{\vec v' \cdot \vec V}{c^2}} .$$

En este problema, está claro que $v'_\| = 0$.

[GNzcuber]

Re: Duda sobre la dilatación del tiempo

Hola Pod,

Yo diría que mi fórmula (3) y tu fórumla (1) coinciden, exceptuando signos.

¿Mi fórmula (4) es correcta? Yo no veo el error, sin embargo intenté demostrar que el numerador era menor o igual al denominador y no llegué ni a contradicción ni a afirmación.

¡Gracias!

[Jose D. Escobedo]

Re: Duda sobre la dilatación del tiempo

Creo que se puede hayar la distancia con la invariabilidad de la metrica

$(ct)^2 - (\Delta x)^2- (\Delta y)^2 -(\Delta z)^2 = (ct')^2 -(\Delta x')^2 -(\Delta y')^2 -(\Delta z')^2$ ...(1) en el eje de las z no hay movimiento en este problema entonces $\Delta z=0$ y $\Delta z' =0$, tambien el sistema S' solo hay movimiento en el eje de las y' con lo cual $\Delta x' = 0$ asi que finalmente (1) queda como:

$L^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2= (\Delta y')^2 +(ct)^2 -(ct')^2 \Rightarrow$

$L = \sqrt{ (\Delta y')^2 +(c \gamma t')^2 - (ct')^2} \Rightarrow$

$L= \sqrt{ (v't')^2 + (c \gamma t')^2 - (ct')^2}$

$\dst L=\gamma t'\sqrt{v'^2 +V^2 - \frac{v'^2 V^2}{c^2}}$