Secundaria Sobre una barra en equilibrio...

[lindtaylor]

Pongo lo que se me ocurrio hacer aunque podria estar incorrecto, para que me corrigan X D.


En la figura de arriba nombre los respectivos angulos, como se ven entonces:


$\alpha - \pi/2 + \gamma = \pi /2$

$\gamma = 2\pi - \alpha$

Luego use la relacion de coordenadas polares asi:


$\hat \alpha = cos(2\pi - \alpha)\hat x+sin(2\pi-\alpha)\hat y<br />$
$\hat r = cos(\pi /2-\pi+ \alpha)\hat x-sin(\pi /2-\pi+ \alpha)\hat y$


$\hat \alpha = cos( \alpha)\hat x-sin(\alpha)\hat y$

$\hat r = sin(\alpha)\hat x+cos(\alpha)\hat y$

Luego volteando las barras como en la fiugura siguiente:


y aca propongo usar las relaciones de torque, para luego hacer $\vec \tau = \vec 0$ y sacar el angulo del equilibrio, suponiengo una masa $m_1$ y $m_2$ para la barra de largo a y b respectivamente.

Pero me gustaria saber si la idea que mostre antes esta correcta : S.

saludos!

PD: el otro tema me gustaria borrarlo: S no se porque salieron dos, disculpen.

[Al2000]

Re: Sobre una barra en equilibrio...

¿Tienes que hacerlo por algún método específico o puedes alegar que el equilibrio se consigue cuando el centro de masa se encuentre alineado con el punto de suspensión?

Saludos,

Al

[lindtaylor]

Re: Sobre una barra en equilibrio...

¿Tienes que hacerlo por algún método específico o puedes alegar que el equilibrio se consigue cuando el centro de masa se encuentre alineado con el punto de suspensión?

Saludos,

Al

mmm, deberia en teoria poder resolverlos con conceptos de torques, centro de masa etc asi q tambien podria ser con tu idea que dices tu, la cual a proposito en que consiste? X D

[Al2000]

Re: Sobre una barra en equilibrio...

Bueno, que el centro de masa se encuentre alineado con el punto de suspensión es la condición para que el torque sea nulo y el cuerpo se encuentre en equilibrio. Si partes de esto, o lo demuestras, resolver el problema se limita a conseguir la posición del centro de masa y calcular el ángulo por trigonometría.

Saludos,

Al

[lindtaylor]

Re: Sobre una barra en equilibrio...

es decir suponiendo que he una vez encontrado la posicion del centro de masa lo que haria es:

$\displaystyle \vec r_{CM}= 0$ par que coincida con el origen, y asi no haya torque para el centro de masa. Eso he entendido = O

[dany_nash]

Re: Sobre una barra en equilibrio...

Hola, oiep yo aca en el pc, tengo la solucion de la tarea que entregue en mis tiempos xD...pues si la deseas avisamee por interno, o por aca mismo.

pd: la podria pasar acá,pero me tomará algo de tiempo xD

[lindtaylor]

Re: Sobre una barra en equilibrio...

= o si la deseo , como la puedo obtener? X D

[dany_nash]

Re: Sobre una barra en equilibrio...

te mande un mp xD

[Xel]

Re: Sobre una barra en equilibrio...

wenas, se puede hacer aplicando sumatorio de momentos respecto al extremo desde el que cuelga, y teniendo en cuenta las respectivas masas de las 2 barras, cuyos pesos generan pares opuestos para equilibrarlo.

A mi me da esto: $\alpha = arctg \ (\frac{-m_b b}{a(m_a-m_b)})$

Edito:
Dejo aquí mi resolución corregida ( me equivoqué en algún signo).

Llamando O al extremo de la cuerda donde cuelga el objeto, considerando los pesos de cada barra situados en sus respectivos centros y de dirección paralela a la de la cuerda vertical, tenemos:

$\sum M_o = 0$

$m_ag(\frac{a}{2}sen \alpha) = m_bg(\frac{b}{2} cos(180-\alpha) - a \ sen\alpha)$

$m_ag(\frac{a}{2}sen \alpha) = m_bg(-\frac{b}{2} cos\alpha - a \ sen\alpha)$

$a \ sen\alpha \ (\frac{m_a}{2} + m_b) = -m_b\frac{b}{2} cos\alpha$

$\frac{sen\alpha}{cos\alpha} = \frac{-m_b\frac{b}{2}}{a(\frac{m_a}{2}+m_b)}$

$tg\alpha = \frac{-b}{2a(\frac{m_a}{2m_b}+1)} = \frac{-b}{a(\frac{m_a}{m_b}+2)}$

$\alpha = arctg ( \frac{-b}{a(\frac{m_a}{m_b}+2)})$

un saludo.

[dany_nash]

Re: Sobre una barra en equilibrio...

se te ha olvidado expresar las masas en función de los lados.

dejaré mi solución:

Por tratarse de barras unifores. sabemos que el centro de masas de la barra se encuentra en el punto medio de cada una. Entonces, podemos calcular el centro de masas del conjunto. Dado que la densidad de la barra de largo a $\sigma_a$ y la densidad de la barra de largo b $\sigma_b$ son las mismas, entonces se tiene que :

$$\displaystyle \sigma_a=\sigma_b\Rightarrow \frac{m_a}{a}=\frac{m_b}{b}\Rightarrow m_a=\frac{am_b}{b}$$

Ahora bien, calculando el centro de masas (ver primera imagen adjunta), se tiene que :

$$\displaystyle \vec{r_{cm}}=\frac{\vec{r_b}m_b+\vec{r_a}m_a}{m_a+m_b}\Rightarrow$$

sabemos que $\displaystyle \vec{r_b}=\frac{b}{2}\hat x$ y $\displaystyle \vec{r_a}=\frac{a}{2}\hat y$ y reemplazando la ecuacion (1) en (2), se obtiene :

$$\displaystyle \vec{r_{cm}}=\frac{\frac{b}{2}m_b \hat x+\frac{a}{2}\cdot\frac{a}{b}m_b\hat y}{\frac{a}{b}m_b+m_b}\Rightarrow \vec{r_{cm}}=\frac{b^2}{2(b+a)}\hat x +\frac{a^2}{2(a+b)}\hat y$$

Ahora bien, para que el sistema est'e en equilibrio, entonces el centro de masas con la tension deben encontrarse alineados en la misma direccion del hilo, luego $\sum F=0$ por lo que $T=mg$, entonces se tiene que (ver segunda imagen adjunta).

de la figura se tiene que :

$$\displaystyle \alpha =90^o+\theta$$

Como la suma de torques debe ser cero, entonces se tiene que :

$$\displaystyle \vec{r_T}\times \vec{T}+\vec{r_F}\times \vec{F}=0$$

de la figura adjunta se tiene que $\displaystyle\vec{r_T}=a\hat y$ y para la tension $\displaystyle \vec{T}= -T\cos(\theta) \hat x + Tsen(\theta) \hat y$.

Ademas $\displaystyle \vec{r_F}=\frac{b^2}{2(a+b)}\hat x +\frac{a^2}{2(a+b)}\hat y$ y adem'as para F se tiene $\displaystyle \vec{F}=Fcos(\theta)\hat x - Fsen(\theta)\hat y$. Luego efectuando el producto cruz dada por la ecuacion (5), se obtiene :

$$\displaystyle aT\cos(\theta)\hat z - \frac{b^2}{2(a+b)}F\sin(\theta)\hat z - \frac{a^2}{2(a+b)}F\cos(\theta)\hat z = 0$$

diviendo por $\cos(\theta)$ la ecuacion anterior se obtiene que :

$$\displaystyle \tan(\theta)=\frac{2a(a+b)-a^2}{b^2}$$

Luego por la ecuacion (4) tenemos que

$$\displaystyle \tan(\theta)=-\frac{1}{\tan(\alpha)} \Rightarrow \tan(\alpha)=-\frac{b^2}{a^2+2ab}\Rightarrow \alpha=\arctan \left(-\frac{b^2}{a^2+2ab}\right)$$

Saludoss

Pd: tengo algo levemente distinto a la solucion de arriba (remplazando las masas llego a algo distinto, revisar'e la solucion por si hay un error, )

[Al2000]

Re: Sobre una barra en equilibrio...

Discrepamos un poquito. Mi análisis es



- Posición del centro de masa: $\dst x_a = \frac {a^2}{2(a+b)}\,,\quad x_b = \frac {b^2}{2(a+b)}$

$\dst \alpha = \frac \pi 2 + \beta = \frac \pi 2 + \tan^{-1} \left(\frac {a-x_a}{x_b}\right) = \frac \pi 2 + \tan^{-1} \left(\frac {a^2+2ab}{b^2}\right)$

Tu resultado no es consistente con el caso b=0, que debería dar $\alpha = \pi$.

Saludos,

Al

[dany_nash]

Re: Sobre una barra en equilibrio...

Discrepamos un poquito. Mi análisis es

[ATTACH=CONFIG]2513[/ATTACH]

- Posición del centro de masa: $\dst x_a = \frac {a^2}{2(a+b)}\,,\quad x_b = \frac {b^2}{2(a+b)}$

$\dst \alpha = \frac \pi 2 + \beta = \frac \pi 2 + \tan^{-1} \left(\frac {a-x_a}{x_b}\right) = \frac \pi 2 + \tan^{-1} \left(\frac {a^2+2ab}{b^2}\right)$

Tu resultado no es consistente con el caso b=0, que debería dar $\alpha = \pi$.

Saludos,

Al

Sipp toda la razon, con mi solución bastaria tomar la funcion inversa de la ecuacion (7) y reemplazarla en la ecuacion (4) y da el mismo resultados que indicas (expresando el angulo de 90 en radianes obviamente.)

La verdad esq habia escrito la respuesta de una tarea que hize hace tiempo, i precisamente no me explicaba lo de los casos limites.

Pero observando lo que hice, ya encontre el error, fue el signo de la ecuacion (8) que deberia ser:

$$\displaystyle \tan({\theta})=-\frac{1}{\tan{(\alpha)}}$$

Y pues no noto error en esta ecuacion, por lo que la única explicacion que le veo al resultado es que la funcion tangente es negativa en el 2do y 4to cuadrante, luego descartando las soluciones para angulos en el 4to cuadrante, se obtiene que el conjunto de solucion es solo para ángulos entre el 2do cuadrante (y ahi no hay problemas con el caso limite).

Aunque es mucho mas rapido y conlleva menos confusi'on reemplazar altiro como lo dije al principio.

Muchas gracias por la correccion

Pd: edito altiro el signo de la otra ecuacion