1r ciclo Ecuacion ondas esfericas

[kempes]

Hola

Tengo el siguiente problema:

Una onda esferica es una solucion de la ecuacion tridimensional de onda de la forma $u(r,t)$ , donde $r$ es la distancia al origen ( la coordenada esferica). La ecuacion de onda toma la forma

$u_{tt}=c^2\left( u_{rr}+\frac{2}{r}u_r \right)$

a)Cambia las variables $v=ru$ para obtener la ecuacion de $v$: $v_{tt}=c^2v_{rr}$
b)Resuelve para $v$ y de este modo resuelve la ecuacion de onda esferica
c) Usa

$u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi (x+ct)+\phi (x-ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)ds$

para resolverla con las condiciones iniciales $u(r,0)=\phi(r), u_t(r,0)=\psi(r)$ tomando a $\phi$ y $\psi$ como funciones pares de $r$

Los dos primeros apartados son faciles, y obtengo , como era de esperar,
$u(r,t)=\frac{1}{r}\{f(r+ct)+g(r-ct)\}$

Pero en el apartado c) me lio. Si procedo como en el libro para el caso sencillo , al trabajar con $\phi$ y $\psi$ para hallar $f$ y $g$ me salen integrales sobre f y g y terminos de r al cuadrado y no me parece q lo este haciendo bien. Podrias darme alguna indicacion?

Gracias

[carroza]

Re: Ecuacion ondas esfericas

Hola.

en c), Basta con comprobar que la expresión que te dan es solución de la ecuación, y además cumple las condiciones de contorno.

Entiendo que donde ponen $u(x,t)$ en realidad se refieren a $v(r,t)$.

[kempes]

Re: Ecuacion ondas esfericas

Hola

La expresion del apartado c) es la formula solucion del problema de valor inicial de la ec de onda para el caso unidimensional, tal cual la pone en el libro. Por eso puse $u(x,t)$. No entiendo muy bien lo que me indicas, es decir, no puede ser la solucion del caso de ondas esfericas , puesto que es un caso diferente.

Lo que yo trate de hacer es seguir los pasos para hallar una expresion similar a la de c), pero para las ondas esfericas, tomando como modelo el metodo del libro para el caso unidimensional. Tomo
$u(r,t)=\frac{1}{r}\{f(r+ct)+g(r-ct)\}$
y a partir de las ci se tiene que

$\phi(r)=\frac{1}{r}\{f(r)+g(r)\}<br /> ; \psi(r)=\frac{c}{r}\{f'(r)-g'(r)\}$
Combinando estas expresiones intento hallar una expresion para f y g, pero , por ejemplo para f me sale esto:
$f'(r)=\frac{1}{2}\{r\phi'(r)+\frac{r}{c}\psi(r)\}$
y de aqui salen terminos al cuadrado ( ademas de el termino con $\phi$ que no se cual es su integral) y en la solucion ( la trae el libro al final) no salen.
Te pongo la solucion, porque si la ves igual te das cuenta de como lo hace, la verdad que no tiene pinta de ser muy dificil,es bastante similar a la otra, pero no veo como sacarla !!:

$\frac{1}{2r}\{(r+ct)\phi(r+ct)+(r-ct)\phi(r+ct)\}+\frac{1}{2cr}\int_{r-ct}^{r+ct} s\psi(s)ds$

Saludos y gracias

[carroza]

Re: Ecuacion ondas esfericas

Hola.

El apartado a) sirve para demostrar que, con la transformación $u(r,t) = r v(r,t)$, la ecuación diferencial en tres dimensiones se convierte en una ecuación diferencial en una dimensión. A partir de ahi, puedes usar la solución que te dan en c).

Basta que compruebes que cumple la ecuación diferencial en una dimensión y que cumple las condiciones de contorno.


Por otro lado, la función $f(r+ct)$ la puedes expresar como
$f(r+ct) = \phi(r+ct) + \int_0^{r+ct} \psi(s) ds$

y análogamente para $f(g-ct)$ la puedes expresar como
$g(r-ct) = \phi(r-ct) - \int_0^{r-ct} \psi(s) ds$

[kempes]

Re: Ecuacion ondas esfericas

Hola

A ver, me estoy liando un pelin. ¿Tengo que comprobar que $u(r,t)=\frac{1}{r}\{f(r+ct)+g(r-ct)\}$ cumple la ecuacion diferencial y las cc o que la cumple $u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi (x+ct)+\phi (x-ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)ds$?

La ecuacion $u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi (x+ct)+\phi (x-ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)ds$ cumple la ecuacion diferencial de onda $u_{tt}=c^2u_{xx}$ y las condiciones dadas,puesto que se obtuvo a partir de una solucion general y aplicandole las condiciones.

La ecuacion $u(r,t)=\frac{1}{r}\{f(r+ct)+g(r-ct)\}$ cumple la ecuacion de ondas esfericas, pero para comprobar que cumple las cc tendre que obtener una expresion del tipo de $u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi (x+ct)+\phi (x-ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)ds$, pero para la solucion hallada, no? Es en esto en lo que me atranco, si es que es necesario hacerlo.

La ecuacion $v(r,t)=f(r+ct)+g(r-ct)$ cumple $v_{tt}=c^2v_{rr}$ con las condiciones dadas, evidentemente.

Por otro lado, la función $f(r+ct)$ la puedes expresar como
$f(r+ct) = \phi(r+ct) + \int_0^{r+ct} \psi(s) ds$

y análogamente para $f(g-ct)$ la puedes expresar como
$g(r-ct) = \phi(r-ct) - \int_0^{r-ct} \psi(s) ds$

Estas ecuaciones para $f$ y $g$ seran diferentes para este caso no?. A mi me salen , hallando $\phi '+\frac{\psi}{c}$ y $\phi '-\frac{\psi}{c}$ lo siguiente:

$\phi '+\frac{\psi}{c}=-\frac{1}{r^2}\{f(r)+g(r)\}+\frac{2}{r}f'(r)$
$\phi '-\frac{\psi}{c}=-\frac{1}{r^2}\{f(r)+g(r)\}+\frac{2}{r}g'(r)$

¿Como obtienes de aqui $f$ y $g$ ?

Lo dicho, tengo un lio...

Saludos y gracias

[kempes]

Re: Ecuacion ondas esfericas

Hola

He vuelto a calcular $f$ y $g$ llegando a :
$\displaystyle f'(r)=\frac{1}{2}\{r\phi'(r)+\frac{r}{c}\psi(r)\}$


$\displaystyle g'(r)=\frac{1}{2}\{r\phi'(r)+\frac{r}{c}\psi(r)\}$

pero a la hora de integrar, en teoria me deberia de salir como resultado general lo siguiente:

$\displaystyle \frac{1}{2r}\{(r+ct)\phi(r+ct)+(r-ct)\phi(r+ct)\}+\frac{1}{2cr}\int_{r-ct}^{r+ct} s\psi(s)ds$

La r adicional dividiendo se debe a que $\displaystyle u(r,t)=\frac{1}{r}\{f(r+ct)+g(r-ct)\}$ ? Lo que no veo es por que

$\displaystyle \int r\phi(r)dr=r\phi(r)$

Gracias

[carroza]

Re: Ecuacion ondas esfericas

Hola.

Te lias, porque una vez cambiado u(r,t)=rv(r,t), las soluciones que te dan son las de v(r,t), que cumple que$v_{tt} = c^2 v_{rr}$. Es esta función v(r,t) la que cumple

$v(r,t)=f(r+ct)+g(r-ct)$

y el resto de las propiedades.