Divulgación Sobre dilatación del tiempo

[cenavast]

En primer lugar, quiero aclarar que no tengo mucha idea sobre la relatividad, todo lo que sé es de leer por ahí cosas de divulgación, y a nivel de fórmulas me pierdo. Sin embargo, a raíz de un artículo donde se explicaba un poco la dilatación del tiempo, se me han ocurrido unos razonamientos que me gustaría que revisarais, ya que probablemente tengan algún error en alguna parte.
El artículo comenzaba aceptando como verdadero que la velocidad de la luz es constante independientemente del observador y que nada puede superar la velocidad de la luz, yo también partiré desde ahí.
Imaginamos un observador O1 que se mueve a una velocidad V1 respecto de otro observador O2. O1 tira una pelota a una velocidad V2. Para O2, la pelota irá a velocidad V1+V2. Ahora imaginemos que O1 va a velocidades cercanas a la luz, por ejemplo 0.95c, y que en vez de lanzar una pelota, enciende una linterna, cuya luz saldrá a c. Según la lógica anterior, para O2 la luz tendrá velocidad 0.95c+c, es decir, 1.95c. Sin embargo esto contradice el principio de que la velocidad de la luz es constante y que nada puede superar c.
Para que esto tenga sentido y la luz de la linterna viaje a la misma velocidad para O1 y O2, el tiempo deberá ser diferente para ambos, de manera que c=e/t se ajuste.
Ahora comienzo con las fórmulas. Imaginemos que a distancia 3*10^8 m de O1 hay una pared, que también se mueve a la velocidad de O1 (que es 0.95c). Cuando O1 encienda la linterna, la luz tardará 1sec en llegar a la pared, porque v=e/t, c=3*10^8/t -> t=1s.
Bien, ahora vayamos con O2. Para O2, el espacio recorrido por la luz será mayor a 3*10^8m, concretamente 3*10^8+0.95*c*1s, es decir, 1.95*3*10^8. Teniendo en cuenta que c debe permanecer constante, tenemos que
c=e/t,
3*10^8=1.95*(3*10^8)/t, y finalmente que t=1.95s.
Es decir, mientras que para O1 ha pasado 1sec, para O2 han pasado 1.95secs.

Ahora, en lugar de usar datos numéricos usemos solamente variables.
La pared va a estar a una distancia "a" de O1, y se va a mover a la misma velocidad que O1, que será V. Para calcular el tiempo que un haz de luz tarda en llegar a la pared, usamos v=e/t, es decir, c=a/t1.
Vamos ahora con O2. Para O2 la velocidad con la que la luz va a llegar a la pared va a ser también c, solo que para él la distancia no será a, sino que será a+V*t1. Y por tanto su variable tiempo será diferente. Sustituyendo estos datos en v=e/t, tenemos que c=(a+v*t1)/t2.
De esta forma, tenemos que
(1) c=a/t1, y
(2) c=(a+v*t1)/t2.
Como c=a/t1, a=c*t1. Sustituimos en (2):
c=(c*t1+v*t1)/t2, y ahora despejamos t2.
t2=(c*t1+v*t1)/c. Le sacamos factor común para dejarlo más bonito:
t2=t1(c+v)/c,
y así hemos llegado a una fórmula que nos permite calcular el tiempo que habrá transcurrido para un observador conociendo el tiempo que ha transcurrido para otro que se mueve a velocidad v conocida. Además, esta fórmula parece tener sentido si se aplica: cuando v es muy grande (por ejemplo, 0.9c), imaginando que se hubiera llevado esa velocidad durante 1sec, sí se pueden apreciar efectos considerables (t2 sería 1.9secs), sin embargo, si v soy yo corriendo a 2m/s durante 1sec, para mi profesor de deporte ha pasado prácticamente el mismo tiempo que para mí...
Pero como no he visto esa fórmula en ninguna parte, probablemente esté mal, y me gustaría saber por qué.
Si has llegado hasta aquí... gracias por la paciencia

[GNzcuber]

Re: Sobre dilatación del tiempo

Hola cenavast,

La Relatividad especial o restringida es una cinemática más generalizada de la Relativida de Galileo, la que estás usando.

Para empezar, en la Relatividad de Galileo, es cierto que si vas a una velocidad u y lanzas una pelota a una velocida v respecto a tí, un observador externo verá esa pelota moverse a:

$$\dst \vec{v}=\vec{v'}+\vec{u}$$

De manera que si la lanza en el sentido que el se mueve según tú, la velocidad se sumará y si la lanza en sentido opuesto se restará.
Pero en relatividad especial, a grandes velocidades, esto ya no es cierto, es más, en la de Galileo tampoco es cierto, sin embargo a velocidades muy pequeñas es imperceptible la diferencia, es mayor el error que podamos cometer con la precisión de nuestros objetos de medida.
La composición de velocidades realmente es:

$$\dst \vec{v}=\frac{\vec{v'}+\vec{u}}{1+\frac{v\cdot u}{c^2}}$$

Usando tus datos:

$$\dst v=\frac{(0.95+1)c}{1+\frac{0.95c^2}{c^2}}=c$$

Como podrás observar tú también la verías a c la luz de la linterna.

El ejemplo de la pelota contra la pared que has puesto no tiene sentido, estás considerando que en un sistema la pelota se mueve contra la pared "que siempre está a la misma distancia", es decir ¡No te estás moviendo respecto a ella!, y para el observador externo, tú sí te estás moviendo.

Y la fórmula que has deducido me suena más a "Efecto Doppler". Para la relatividad podrías pensar en el reloj más simple posible, el que está compuesto por dos espejos paralelos separados una distancia d en el que un fotón rebota en ellos sin desviarse, cada ciclo será una unidad de tiempo.
Para un sistema S' que se mueva a u, respecto a tí, el fotón tardará un tiempo $\dst t_1=\frac{d}{c}$ en moverse de un espejo a otro, pero para tí el fotón no recorre d, sinó que el movimento compuesto entre d y u·t, siendo t el tiempo que necesita el fotón para chocar en los dos espejos en tu sistema inercial S.

$$\dst t=\frac{\sqrt{d^2+(u\cdot t)^2}}{c}\Rightarrow \left.\begin{aligned}d^2=(c\cdot t)^2-(u\cdot t)^2=t^2(c^2-u^2)\\d=c\cdot t_1\end{aligned}\right\}t=\frac{t_1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}$$

Si llamamos $\dst \beta = \frac{u}{c}$ y $\dst \gamma=\frac1{\sqrt{1-\beta^2}}$, tendremos: $\dst t=\gamma t_1$ que es la transformación de tiempo cuando uno está estático, en este caso el tiempo t en S.

¡Saludos!

[cenavast]

Re: Sobre dilatación del tiempo

No entiendo bien la objeción que le pones a lo de la pared... lo que quiero decir es que la pared está en el mismo sistema que O1, vamos, que para O1 la pared sí está quieta, pero para O2 se mueve. En cualquier caso, el "experimento" tampoco necesita la pared para nada, era simplemente por poner un límite de espacio (vamos, para que la luz recorriera 'a' metros respecto de O1, y a+v*t1 respecto de O2).
De todas formas gracias por el mensaje, porque he aprendido esas 2 fórmulas que no sabía. Aún así, sigo sin entender qué está mal del razonamiento, ¿el empezar con v=e/t? ¿No está implícito en la definición de velocidad que es espacio recorrido en cierto tiempo? ¿tan anticuados tengo los conceptos?

[Jose D. Escobedo]

Re: Sobre dilatación del tiempo

No puedes escribrir que: $ct_1=a$ y que $ct_2 + vt_2 =a$, porque en la segunda expresion estas midiendo una distancia extra, cuando $vt_2$ esta de mas, tambien $a$ tiene que ser diferente en ambas expresiones porque estas olvidando el fenomeno de "length contraction."


saludos
Jose

[cenavast]

Re: Sobre dilatación del tiempo

Bueno, ya veo que son cosas que simplemente me superan... por ahora :P
A ver si consigo algún libro más técnico donde se expliquen las bases de la relatividad, porque esto en ingeniería no se estudia, ¿no?

Editando el mensaje: ahora me empiezo a "enterar" de la existencia de las transformaciones de Lorentz y puedo ver mi error. La duda que me surge es, ¿de dónde salen las fórmulas de estas transformaciones? Gracias de nuevo.

[GNzcuber]

Re: Sobre dilatación del tiempo

Hola cenavast,

Las demostraciones se realizan igual que la de Galileo, pero con la diferencia que ahora no se supone el tiempo absoluto, se introducen unas constantes y se despeja lo que se necesita. No son difíciles de hayar, pero yo las vi una vez y hace tiempo, así que si lo intentara ahora seguramente no llegue muy lejos .

Mejor te dejo una Web que se dedica a explicar la relatividad y me gusta mucho. En ingeniería no se da por lo que tengo entendido.

Algunas cosas básicas que te puedes mirar para comprender algo de la Relatividad Especial: dilatación de tiempo, contracción de longitudes, transformaciones de Loretz, invariantes de Lorentz, composición de velocidades, diagramas de Minkowski, y por último, momento y energía relativista.

En esta Web hay más que esto y el nivel es mayor al que me dieron en clase. Yo creo que haces bien en intentar entender la Relatividad, ya que te hace ver que has estado engañado, por decirlo de alguna manera, porque a velocidades menores que 0.5c los efectos relativistas son despreciables y no estamos acostumbrados a esas velocidades, por lo menos yo cuando voy a comprar el pan voy más lento .

¡Saludos!

P.D.: Las transformaciones de Lorentz las veras de varias formas, aunque todas representen lo mismo, pero a mi modo de ver la mejor forma de recordarlas es:

Transformaciones de Lorentz directas: Las coordenadas de un sistema inercial S (donde estás tú) respecto a otro S'.

$$\dst \begin{aligned}x=\gamma\left[x'+\beta\left(ct'\right)\right]\\ct=\gamma\left[ct'+\beta\left(x'\right)\right]\\ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\\ \beta=\frac{u}{c}\end{aligned}$$

Transformaciones de Lorents inversas: Las coordenadas de un sistema inercial S' respecto de ti.

$$\dst \begin{aligned}x'=\gamma\left[x-\beta\left(ct\right)\right]\\ ct'=\gamma\left[ct-\beta\left(x\right)\right]\end{aligned}$$

Lo que quiero que veas para recordarla es que todas siguen el modelo:

$$\dst componente1=\gamma\left[componente1'\,(signo)\,\beta\left(componente2'\right)\right]$$

Donde el signo viene dado como positivo (+) si son directas y negativo (-) si son inversas.

[cenavast]

Re: Sobre dilatación del tiempo

Muchísimas gracias por la web. Me ha hecho gracia ver que al final todo se fundamenta sobre Pitágoras xD