1r ciclo El campo eléctrico de un dipolo, demuestre que...

[Templario777]

Hola amig@s,

demuestre que las componentes de E debidas a un dipolo cuyo momento dipolar eléctrico
p=qd están dadas, en puntos distantes, por:

El campo eléctrico según z me da esto:

$\displaystyle \[{E_z} = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}q\left[ {\frac{{z - d/2}}{{{{\left( {{x^2} + {{(z - d/2)}^2}} \right)}^{3/2}}}} - \frac{{z + d/2}}{{{{\left( {{x^2} + {{(z + d/2)}^2}} \right)}^{3/2}}}}} \right]\]$

Me han dicho que para llegar a la expresión del problema utilizando la hipótesis de punto distante, puede hallar el polinimio de Taylor alrededor de $d=0$, lo cierto es que igual no me sale.

Saludos,
T777

[[Beto]]

Re: El campo eléctrico de un dipolo, demuestre que...

Al final de la página http://forum.lawebdefisica.com/conte...ctromagnetismo

[Templario777]

Re: El campo eléctrico de un dipolo, demuestre que...

Beto, esa página parece que no existe.

[[Beto]]

Re: El campo eléctrico de un dipolo, demuestre que...

Beto, esa página parece que no existe.

Intenta nuevamente, ya corregí el enlace.

[Al2000]

Re: El campo eléctrico de un dipolo, demuestre que...

[Beto], yo te sugeriría de modo muy amistoso, que si vas a hacer referencia a tus apuntes, que por demás están muy buenos, arregles los errores de LaTeX y de desarrollo. Yo me imagino que eso no está escrito en piedra y tienes la posibilidad de editarlo; entonces no hay ninguna razón para que dejes allí los errores que te menciono.

En la parte de la determinación del campo del dipolo mira que empiezas con una pata coja cuando en la primera ecuación (o en el gráfico) intercambias los papeles de $\boldsymbol r_1$ y $\boldsymbol r_2$. Eso hace que arrastras un error de un signo que en cierto punto corriges sin miramientos; supongo que mientras hacías el original hiciste algunos cambios y terminaste tipeando expresiones que no concuerdan.

Saludos,

Al

[[Beto]]

Re: El campo eléctrico de un dipolo, demuestre que...

[Beto], yo te sugeriría de modo muy amistoso, que si vas a hacer referencia a tus apuntes, que por demás están muy buenos, arregles los errores de LaTeX y de desarrollo. Yo me imagino que eso no está escrito en piedra y tienes la posibilidad de editarlo; entonces no hay ninguna razón para que dejes allí los errores que te menciono.

En la parte de la determinación del campo del dipolo mira que empiezas con una pata coja cuando en la primera ecuación (o en el gráfico) intercambias los papeles de $\boldsymbol r_1$ y $\boldsymbol r_2$. Eso hace que arrastras un error de un signo que en cierto punto corriges sin miramientos; supongo que mientras hacías el original hiciste algunos cambios y terminaste tipeando expresiones que no concuerdan.

Saludos,

Al

Gracias, lo corregiré en cuanto pueda ... lo que si agradecería es que cualquier corrección me la hicieras notar en los comentarios del artículo, de ese modo no la podría olvidar eventualmente.

[Al2000]

Re: El campo eléctrico de un dipolo, demuestre que...

...
Me han dicho que para llegar a la expresión del problema utilizando la hipótesis de punto distante, puede hallar el polinimio de Taylor alrededor de $d=0$, lo cierto es que igual no me sale.
...

Bueno, mi preciado amigo, por fin empiezas a traer problemas de Física II

La demostración es larga y culebrera. En verdad intenté demostrarlo a partir de la expresión que obtuviste pero la necesidad de considerar que $r$ es grande comparado con $d$, y no así los valores individuales de $x$ o $z$ obligan a pasar por plantear el problema en coordenadas polares (al menos hasta donde llegaron mis conocimientos).

Una vez que te hayas empapado de los apuntes de [Beto], y tomadas en cuenta las correcciones de los pequeños errores, creo que la forma mas fácil de llegar a la expresión que andas buscando es partiendo del campo del dipolo en forma vectorial:

$$\boldsymbol E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\, \frac {(3 \boldsymbol p \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r)\,\boldsymbol u_r - \boldsymbol p}{r^3}$$

(Incidentalmente, si te es lícito partir de esta expresión te ahorrarías mucho trabajo. Esa expresión del campo del dipolo la puedes conseguir en el Alonso-Finn, por ejemplo.)

Para el sistema de coordenadas en tu figura tienes que

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \boldsymbol p &= p \,\boldsymbol u_z \\<br /> \boldsymbol r &= x\, \boldsymbol u_x + z\, \boldsymbol u_z \\<br /> r &= \sqrt {x^2 + z^2}<br /> \end{aligned}$$

Entonces si empiezas por escribir (1) como

$$\boldsymbol E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\, \frac {(3 \boldsymbol p \boldsymbol \cdot \boldsymbol r)\,\boldsymbol r - r^2 \, \boldsymbol p}{r^5}$$

y sustituyes (2), tendrás luego de simplificar la expresión que buscas.

Saludos,

Al