1r ciclo Dinámica y rozamiento

[Akendam]

Necesito que me ayuden con el siguiente problema, dado que fue tomado en el último examen y aún no logro terminar de interpretarlo. Dice así:

Una caja de 20 Kg. descansa sobre la plataforma de un camión a 6 m. de la puerta trasera que está abierta. Los coeficientes de fricción estática y dinámica entre la caja y el piso del camión son 0.40 y 0.25, respectivamente.
La aceleración máxima del camión para que la caja no se deslice es 3.92 $\frac{m}{{s }^{ 2}}}$.
a)Suponga que el camión acelera hacia delante a 5 $\frac{m}{{s }^{ 2}}}$ durante 1 seg. ¿Cuánto se habrá desplazado la caja?
b)Si acelerara 5 $\frac{m}{{s }^{ 2}}}$ durante 40 seg. ¿Se caerá la caja del camión? Si así fuera ¿cuántos segundos después de la aceleración inicial ocurrirá la caída?
c)Si ahora suponemos que el camión se hallara sobre una pendiente de 12º ¿qué ocurriría en los casos (a) y (b)?


En el caso a) dado que la aceleración del camión supera la aceleración máxima v a desplazarse, pero mi confusión radica en que no sé si la aceleración de la caja es la misma que la del camión, por otro lado al desplazarse se produce una fuerza de rozamiento cinética….pues aquí ya me perdí. Y creo que se encuentra conectado con los otros dos puntos para poder resolverlo.
Bueno en caso de que me ayuden con el planteo estaré muy agradecido.
Saludos.

[Joey]

Re: Dinámica y rozamiento

La aceleración de la caja no es la misma que la del camión. De lo contrario no habría deslizamiento.

[GNzcuber]

Re: Dinámica y rozamiento

Hola Akendam,

a) Como has dicho se desplaza porque la aceleración es mayor que la máxima que "resistiría" la caja en reposo. La aceleración que tiene la caja se halla con la segunda ley de Newton:

$$\dst \left.\begin{aligned}F_{camion}-F_{roz}=m\cdot a\\ F_{camion}=m\cdot a_{camion}\\ F_{roz}=\mu_c\cdot m\cdot g\end{aligned}\right\}a=a_{camion}-\mu_c\cdot g$$

$$\dst a=(5-0.25\cdot 9.81)m\cdot s^{-2}\approx 2.55 m\cdot s^{-2}$$

La caja se habrá desplazado:

$$\dst \Delta x=\frac{1}{2}a(\Delta t)^2$$

$$\dst \Delta x=\frac{1}{2}2.55m\cdot s^{-2}(1s)^2\approx 1.27m$$

b) Si acelera durante 40 s:

$$\dst \Delta x=\frac{1}{2}2.55m\cdot s^{-2}(40s)^2\approx 2040m$$

Si iba en un portaaviones de los grandes probablemente no hubiera caído.

¿Cuándo caerá?

$$\dst \Delta x=\frac{1}{2}a(\Delta t')^2\rightarrow t'=\sqrt{\frac{2x}{a}}$$

$$\dst t'=\sqrt{\frac{2\cdot 6m}{2.55m\cdot s^{-2}}}\approx 2.17s$$

c) Ahora con una pendiente cambian la fuerza de rozamiento y se le agrega la componente del peso paralela a la plataforma del camión.
Pero primero habrá que comprobar que no se cae en estado estático (el camión):

$$\dst \left.\begin{aligned}F_{roz_e}\overbrace{>}^?P\cdot \sin(\theta)\\ \mu_e\cdot m\cdot g\cdot \cos(\theta)\overbrace{>}^?m\cdot g\sin(\theta)\\ \mu_e\cdot \cos(\theta)\overbrace{>}^?\sin(\theta)\end{aligned}$$

$$\dst 0.4\cdot \cos(12)\approx 0.39>0.21\approx \sin(12)$$

Entonces no caerá estando el camión en reposo. Lo cual es un problema, porque ahora tendré que seguir haciendo cáculos .

a') Nuevamente aplicamos la segunda ley de Newton:

$$\dst \left.\begin{aligned}F_{camion}+P\cdot \sin(\theta)-\F_{roz}=m\cdot a\\ F_{camion}=m\cdot a_{camion}\\ F_{roz}=\mu_c\cdot m\cdot g\cdot \cos(\theta)\end{aligned}\right\}a=a_{camion}+g[\sin(\theta)-\mu_c\cdot \cos(\theta)]$$

$$\dst a\approx 5m\cdot s^{-2}+9.81m\cdot s^{-2}(\sin(12)-0.25\cos(12))\approx 4.64\; m\cdot s^{-2}$$

Recorre en un segundo:

$$\dst \Delta x=\frac{1}{2}4.64m\cdot s^{-2}(1s)^2\approx 2.32m$$

Nuevamente es un problema, porque la maldita caja no quiere caer. Vamos con el siguiente:

b') Está demás decir que caerá en menos de 40s, así que calcularé cuánto tarda en caer:

$$\dst t=\sqrt{\frac{2\cdot 6m}{4.64m\cdot s^{-2}}}\approx 1.61s$$

Bueno, antes que se me olvide, he hecho mal al poner la "fuerza que ejerce el camión" ya que la fuerza que éste ejerce es la de rozamiento, si nos ponemos en el camión la fuerza que malnombré es la ficticia por no estar en un Sistema de Refrencia Inercial.

¡Saludos!

[Editado]= Akendam, tengo un error en los apartados a' y b', y es que por no coger la calculadora he usado los resultados con los cuales quería comprobar si no caía estando el camión en reposo, y en ellos se usa el coeficiente estático y no el cinético, necesario para la segunda parte.

[Editado 2]= He corregido los errores.

[Akendam]

Re: Dinámica y rozamiento

Excelente GNzcuber!!! La verdad que llevaba atascado varias horas con este problema, sobre todo en la aceleración que se imprimía a la caja. Y tu respuesta es muy didáctica y completa.
Muchas gracias!.

[GNzcuber]

Re: Dinámica y rozamiento

Bueno, iba a corregir el error que tenía para que quede mejor y alguien que simplemente esté leyendo por leer no tenga la necesidad de hacer los cáculos y advertí de una cosa muy curiosa:

$$\dst a\approx 5m\cdot s^{-2}+9.81m\cdot s^{-2}(0.21-0.39)\approx 6.77m\cdot s^{-2}$$

No sé cómo lo introduje en la calculadora que me dio ese resultado, que claramente es erróneo, ya que el segundo término será negativo y el resultado es mayor que incluso el primer término. Pero ya está corregido.

¡Saludos!