1r ciclo potencial creado por un disco plano

[sliv3r]

Hola buenas haber tengo un problema fundamentalmente matematico a la hora de calcular el potencial que crea un disco plano de radio R en un punto P de su eje y a una distancia a del centro.

Dado que el disco tiene una distribucion superficial de carga $\sigma$, la carga del disco será:

$dq=2 \pi r \sigma dr$

Entonces:

$dV=K \frac{dq}{b}=K\frac{2 \pi \sigma r dr}{\sqrt{a^2+r^2}}$

siendo b la hipotenusa del triangulo cuyos catetos son a y r. Entonces:

$\int_0^R dV=2 \pi K \sigma \int_0^R\frac{r}{\sqrt{a^2+r^2}} dr=\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int_0^R\frac{r}{\sqrt{a^2+r^2}}$

Y ahora viene el problema segun la solucion debe salir:

$V=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}[\sqrt{a^2+R^2}-R]$

Pero al integrar a mi me sale:

$V=\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int_0^R\frac{r}{\sqrt{a^2+r^2}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\int_0^R\frac{1}{\sqrt{\frac{a^2}{r^2}+1}} dr=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}Ln[1+\sqrt{\frac{a^2}{r^2}+1}]_0^R$

No se donde esta el error pero es que integra de golpe y no se como lo hace...asi que si pudierais contestar seria de gran ayuda....gracias anticipadas

[GNzcuber]

Re: potencial creado por un disco plano

Hola Silv3r,

La integral que has hecho no es correcta porque para que te salga un logaritmo neperano la potencia de la variable del denominador debe ser estrictamente la unidad más constantes (que al derivar darán cero) si no tienes la derivada del denominador en el numerador, pero en este caso, si tenías $\dst \frac{r}{\sqrt{a^2+r^2}}$, esto ya sale a la vista que no es del caso que estamos hablando, no importa cuánto lo modifiques, si no haces un cambio de variable no será nunca eso.

Para resolver la integral debes hacer un cambio de variable sencillo:

$$\dst t=r^2\rightarrow r=\sqrt{t}\; ;\; {d}t=2r{d}r\Rightarrow r{d}r=\frac{{d}t}{2}$$

$$\dst t_0=0\; ;\; t_1=R^2$$

$$\dst \frac{\sigma}{4\epsilon_0}\int_0^{R^2}\left(t+a^2\right)^{-\frac{1}{2}}{d}t=\frac{\sigma}{4\epsilon_0}\left[2\sqrt{t+a^2}\right]_0^{R^2}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(\sqrt{R^2+a^2}-a\right)$$

Mmmm....

Ahora mismo no veo qué habré hecho mal, para que me salgan intercambiados.

Ya lo corregiré ...

Por cierto, para que te salgan más grandes las ecuaciones antepone \dst.

¡Saludos!

[natanael]

Re: potencial creado por un disco plano

$V=\frac{\sigma }{2\varepsilon }\int_0^R \!\! \frac{r}{\sqrt{{a}^{ 2} +{r}^{ 2} } }\dd r$

$x= \sqrt{{a}^{ 2} +{r}^{ 2} }$

$\frac{\dd x}{ 2} = \frac{r \dd r}{\sqrt{{a}^{ 2} +{r}^{ 2} } }$

$V=\frac{\sigma }{2\varepsilon } \int_0^R \!\! \frac{\dd x}{2 }$

$V= \frac{\sigma }{4\varepsilon } x$

$x= \sqrt{{a}^{ 2} +{r}^{ 2} }\to V= \left \frac{\sigma }{4\varepsilon } \sqrt{{a}^{ 2} +{r}^{ 2} } \right\vert_0^R$


$V= \frac{\sigma }{4\varepsilon } \left[ \sqrt{{a}^{ 2} +{R}^{ 2} } - a \right]$

No se porque en el resultado real da $- R$ pero si derivas este resultado obtendras la integral. Si ese es el resultado verdadero tienes hay que echarle un ojo al planteamiento, lo que si no entendí fue como rayos hiciste para covertir $2 \pi K \sigma$ en $\frac{\sigma }{2\varepsilon }$.

[GNzcuber]

Re: potencial creado por un disco plano

Porque

$$\dst k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$$

Donde k es la permealibilidad eléctrica en el vacío y épsilon la permitividad eléctrica del vacío.

¡Saludos!

P.D.: Ya que no tengo más nada que hacer te mostraré de donde sale.
La ley de Gauss se deduce de la ley de Coulomb, haciéndola más general, ya que Gauss se dio cuenta que el flujo eléctrico en cualquier superficie cerrada sólo dependía de la carga interna, así que:

$$\dst \Phi_E(de\; una\; superficie\; cerrada)=\frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$$

Y a su vez sabemos que el flujo a través de una superficie cualquiera es:

$$\dst \Phi_E=\int \vec{E}\cdot{d}\vec{S}$$

Por lo que nos queda:

$$\dst \Phi_E=\oint_S \vec{E}\cdot{d}\vec{S}=\frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$$

Ahora pensamos en el caso más sencillo posible, una carga puntual, y como superficie gaussiana una esfera de radio R.

$$\dst \oint_S\vec{E}\cdot{d}\vec{S}=E\oint_S{d}S=E\cdot S=E\cdot 4\pi R^2\; \bold{=}\; \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$$

Donde he podido llegar a la segunda igualdad gracias a la simetría, con coordenadas radiales el producto escalar del campo y cada diferencial de superficie es igual al producto de sus módulos ya que tienen el mismo sentido y dirección. Y pude sacar el campo como factor común porque la magnitud del campo es el mismo en toda la superficie de la esfera, ya que equidista de la carga.

Ahora, por otra parte, sabemos por Coulomb cuánto vale el campo para una carga puntual a una distancia R.

$$\dst E=k\frac{Q}{R^2}$$

Sustituyendo en la anterior tenemos:

$$\dst E(4\pi R^2)=k\frac{Q}{R^2}(4\pi R^2)=4\pi kQ\;\bold{=}\;\frac{Q_{int}}{\epsilon_0}\Rightarrow k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$$

Donde la carga puntual es la carga interior.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: potencial creado por un disco plano

...
Mmmm....

Ahora mismo no veo qué habré hecho mal, para que me salgan intercambiados.
...

Tu no tienes ningún error, lo que está mal es la fórmula que escribió silv3r, donde dice "-R" debe decir "-a".

Saludos,

Al

[Metaleer]

Re: potencial creado por un disco plano

Porque

$$\dst k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$$

Donde k es la permealibilidad eléctrica en el vacío y épsilon la permitividad eléctrica del vacío.

¡Saludos!

P.D.: Ya que no tengo más nada que hacer te mostraré de donde sale.
La ley de Gauss se deduce de la ley de Coulomb, haciéndola más general, ya que Gauss se dio cuenta que el flujo eléctrico en cualquier superficie cerrada sólo dependía de la carga interna, así que:

$$\dst \Phi_E(de\; una\; superficie\; cerrada)=\frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$$

Y a su vez sabemos que el flujo a través de una superficie cualquiera es:

$$\dst \Phi_E=\int \vec{E}\cdot{d}\vec{S}$$

Por lo que nos queda:

$$\dst \Phi_E=\oint_S \vec{E}\cdot{d}\vec{S}=\frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$$

Ahora pensamos en el caso más sencillo posible, una carga puntual, y como superficie gaussiana una esfera de radio R.

$$\dst \oint_S\vec{E}\cdot{d}\vec{S}=E\oint_S{d}S=E\cdot S=E\cdot 4\pi R^2\; \bold{=}\; \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$$

Donde he podido llegar a la segunda igualdad gracias a la simetría, con coordenadas radiales el producto escalar del campo y cada diferencial de superficie es igual al producto de sus módulos ya que tienen el mismo sentido y dirección. Y pude sacar el campo como factor común porque la magnitud del campo es el mismo en toda la superficie de la esfera, ya que equidista de la carga.

Ahora, por otra parte, sabemos por Coulomb cuánto vale el campo para una carga puntual a una distancia R.

$$\dst E=k\frac{Q}{R^2}$$

Sustituyendo en la anterior tenemos:

$$\dst E(4\pi R^2)=k\frac{Q}{R^2}(4\pi R^2)=4\pi kQ\;\bold{=}\;\frac{Q_{int}}{\epsilon_0}\Rightarrow k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$$

Donde la carga puntual es la carga interior.

¡Saludos!

Bonita forma de deducir el valor de la constante de Coulomb.

Realmente, en el SI se introdujo el factor $1/4 \pi$ con el objetivo de racionalizar en la ley de Gauss.

En el sistema Gaussiano de unidades, la constante de Coulomb se define tal que su valor numérico sea la unidad (y que tenga las unidades que sea, para que la fórmula de la ley de Coulomb sea homogénea). Al derivar apartir de esta ley de Coulomb la ley de Gauss, resulta

$$\oiint_\mathcal{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = 4 \pi Q_{\text{int}}$$

Trabajando de forma genérica con la ley de Coulomb, es decir, dejándola en función de una constante arbitraria (fijada por el sistema de unidades) $k$ de Coulomb, la correspondiente ley de Gauss se expresa como

$$\oiint_\mathcal{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = 4 \pi k Q_{\text{int}}$$

y entonces, si se hace la elección de $\displaystyle k \equiv \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$, verás que el factor $4 \pi$ desaparece, y se ha racionalizado en la ley de Gauss.

Saludos.