dos problemillas

[alefriz]

Aqui pongo dos problemas que me parecen curiosos (no se si deberia ponerlos en dos hilos diferentes, pero si era asi lo siento):

1) Un cuerpo se mueve en línea recta con una aceleración cuyo módulo depende de la velocidad según la ley $a = k \sqrt v$ donde k es una constante positiva ($k \> 0$). La velocidad del punto en el momento en que x = 0 es $v_o$. Hallar la ecuación que relaciona x(desplazamiento) con v(velocidad).

2) Una tabla que tiene uno de los extremos fuera del agua se apoya en una piedra que a su vez sobresale fuera del agua. La tabla tiene una longitud $L$. Una parte de la tabla de longitud $a$ se encuentra sobre un punto de apoyo en la piedra ¿Qué parte de la tabla esta hundida si el peso especifico de la madera es $d$?

[[Beto]]

Re: dos problemillas

Hola, a continuación tratare mas o menos de explicarte como resolver los problemas:

1) Un cuerpo se mueve en línea recta con una aceleración cuyo módulo depende de la velocidad según la ley $a = k \sqrt v$ donde k es una constante positiva ($k \> 0$). La velocidad del punto en el momento en que x = 0 es $v_o$. Hallar la ecuación que relaciona x(desplazamiento) con v(velocidad).

En este caso tienes que recordar que la aceleración para la partícula esta dada por:

$\frac{dv}{dx}=a$

Entonces en el problema que menciones tendrias lo siguiente:

$\frac{dv}{dx}=k \sqrt v$

Luego solo tendrias que resolver la siguiente integral:

$\int_{v_0}^v\frac{dv}{\sqrt v}=k\int_0^xdx$

2) Una tabla que tiene uno de los extremos fuera del agua se apoya en una piedra que a su vez sobresale fuera del agua. La tabla tiene una longitud $L$. Una parte de la tabla de longitud $a$ se encuentra sobre un punto de apoyo en la piedra ¿Qué parte de la tabla esta hundida si el peso especifico de la madera es $d$?

Si es que mi imaginación no me falla supongo que te refieres a una tabla que está sobre el agua y tiene una piedra en la parte superior, en este caso solamente tienes que tener en cuenta que el peso de la tabla junto con la piedra es igual al empuje ejercido por el fluido desplazado (principio de arquimides), si es que no es asi como te menciono agradeceria hagas un dibujito del problema.

Saludos.

[Dj_jara]

Re: dos problemillas

En este caso tienes que recordar que la aceleración para la partícula esta dada por:

$\frac{dv}{dx}=a$

pues a mi siempre me han dicho que $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$

-----Añadido después del comentario de N30F3B0-----
$a =k\sqrt{v} = \frac{dv}{dt}\\<br /> \int \frac{dv}{\sqrt{v}}= k t + C = 2 \sqrt{v} = f(t)\\ f(0) = C = 2\sqrt{V_0}\\ \sqrt{v} = \frac{1}{2} (kt + 2\sqrt{V_0})$

Ahora para continuar hay que despejar la v elevando al cuadrado pero no se pierde el signo ya que una de las condiciones del problema es $k>0$ y el tiempo es siempre positivo.

$v = \frac{dx}{dt} = \frac{1}{4} (kt+2\sqrt{V_0})^2\\x(t) = \frac{1}{4}\int (kt+2\sqrt{V_0})^2 dt = \frac{1}{12k} (kt+2\sqrt{V_0})^3 + C_2\\ x(0) = \frac{2}{3k} (V_0\sqrt{V_0}) + C_2\rightarrow C_2 = x_0 - \frac{2V_0}{3k}\\<br /> x = \frac{1}{12k}(kt+2\sqrt{V_0})^3 + x_0 - \frac{2V_0\sqrt{V_0}}{3k}$

He hecho todas las operaciones de cabeza y escribiendo en latex asi que no me hago responsable si estan mal
Así he relacionado la posicion con el tiempo en vez de la velocidad (bueno la velocidad aparece como velocidad inicial xD)

bueno $v = \frac{1}{4} (kt+2\sqrt{V_0})^2 \\ x = \frac{2}{3k} V^{\frac{3}{2}} + x_0 - \frac{2V_0\sqrt{V_0}}{3k} \\x0 = 0\\x = \frac{2}{3k} V^{\frac{3}{2}} - \frac{2V_0\sqrt{V_0}}{3k}$ (diria que asi ya esta bien relacionado)

[[Beto]]

Re: dos problemillas

pues a mi siempre me han dicho que $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$

A mi tambien me dijeron lo que a ti te dijeron , ambas definiciones son equivalentes, además en este problema segun dice en el enunciado piden relacionar la velocidad $v$ con la posición $x$, por eso puse esa formula para que se vea más bonita la integral .

[pod]

Re: dos problemillas

El primer problema es mucho más fácil si usamos nuestra amiga la regla de la cadena:

$a = \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x} \ ,$

por lo que tenemos la siguiente ecuación diferencial

$v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x} = k \sqrt{v} \ ,$

que es separable,

$\sqrt{v} \mathrm{d} v = k \mathrm{d} x \ ,$

y trivialmente integrable

$\int_{v_0}^{v(x)} \mathrm{d} v \, v^{1/2 } = k \int_0^x \! \mathrm{d} x \ ,$

para dar

$\frac{2}{3} \left( v^{3/2}(x) - v_0^{3/2} \right) = k x \ .$

que es la relación pedida.

[pod]

Re: dos problemillas

En cuanto al segundo problema, quizá te refieres a algo de este estilo?

[Dj_jara]

Re: dos problemillas

A mi tambien me dijeron lo que a ti te dijeron , ambas definiciones son equivalentes, además en este problema segun dice en el enunciado piden relacionar la velocidad $v$ con la posición $x$, por eso puse esa formula para que se vea más bonita la integral .

Analisis dimensional
$\displaystyle [a] = \frac{m}{s^2} \ \ [\frac{dv}{dt}] = \frac{\frac{m}{s}}{s} = \frac{m}{s^2} \ \ [\frac{dv}{dx}] = \frac{\frac{m}{s}}{m} = \frac{1}{s}$

[[Beto]]

Re: dos problemillas

Si ya se a que te refieres sucede que se paso escribir un término, lo que yo quise decir fue:

$a=v\frac{dv}{dx}$

Lo siento se me paso poner la $v$ al redactar.

[alefriz]

Re: dos problemillas

En cuanto al segundo problema, quizá te refieres a algo de este estilo?

[ATTACH]16[/ATTACH]

Si Pod, me referia exactamente a esa foto que adjuntaste.

Un saludo

[[Beto]]

Re: dos problemillas

Como ultimamente me estoy equivocando al hacer los cálculos, ahora solo te sugeriré que la parte (2) de tu problema lo resuelvas considerando que:

$\sum\tau_o=0$

Es decir que tengas en cuanta que la suma de torques respecto al punto de apoyo en la piedra es igual a cero.

Al hacer el diagrama de cuerpo libre te darás cuenta que las unicas fuerzas que ejercen torque son el empuje y el peso de la barra; además tienes que considererar que la tabla es homogenea.

Saludos.