Secundaria Sobre dos cascaras esfericas (gravitacion)

[lindtaylor]

Sean el origen en el centro de la cascara 1.
$v$:velocidad con la que llega m en la superficie de la cascara 2.

Para responder b lo que hago yo es:

$\displaystyle E=\frac {-GMm}{R}=\frac {mv2}{2}+ \frac {-GMm}{x}+\frac {-GMm}{(r-x)}$
y evaluo en $x=r-2R$ luego despejo $v$ y obtengo:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Estoy bien? : S

[Al2000]

Re: Sobre dos cascaras esfericas (gravitacion)

No, lo tienes mal. El potencial en el centro del cascarón izquierdo no es -GM/R. Allí tienes que tomar en cuenta también el otro cascarón. El potencial en el centro del cascarón izquierdo sería V1 = -GM/R - GM/r; el potencial en la superficie del cascarón derecho sería V2 = -GM/(r-R)-GM/R. Y ahora lo que tienes que hacer es el balance de energías que quisiste hacer.

Saludos,

Al

[lindtaylor]

Re: Sobre dos cascaras esfericas (gravitacion)

Seria entonces:

$\displaystyle E=\frac {-GMm}{R}+\frac {-GM}{r}=\frac {mv2}{2}+ \frac {-GMm}{x}+\frac {-GMm}{(r-x)}$

y al evaluar en $x =r-R$ (nose porque puse aqui$r-2R$ )

despejo $v$ y entonces.

$\displaystyle v=\sqrt{2(\frac {-GM}{r}+\frac {GM}{r-R})}$

Una condicion que se me ocurre para que llegue a la superficie de la cascara, es

$\displaystyle 2(\frac {-GM}{r}+\frac {GM}{r-R} \geqslant 0$ pero con esto llego a que $\displaystyle R \geqslant0$
asi que esta mal esto X D.

[lindtaylor]

Re: Sobre dos cascaras esfericas (gravitacion)

Seria entonces:

$\displaystyle E=\frac {-GMm}{R}+\frac {-GMm}{r}=\frac {mv2}{2}+ \frac {-GMm}{x}+\frac {-GMm}{(r-x)}$

y al evaluar en $x =r-R$ (nose porque puse aqui$r-2R$ )

despejo $v$ y entonces.

$\displaystyle v=\sqrt{2(\frac {-GM}{r}+\frac {GM}{r-R})}$

Para saber la maxima separacion r de los cascarones como se obtendria?

[Al2000]

Re: Sobre dos cascaras esfericas (gravitacion)

Seria entonces:

$\displaystyle E=\frac {-GMm}{R}+\frac {-GMm}{r}=\frac {mv2}{2}+ \frac {-GMm}{x}+\frac {-GMm}{(r-x)}$

y al evaluar en $x =r-R$ (nose porque puse aqui$r-2R$ )

despejo $v$ y entonces.

$\displaystyle v=\sqrt{2(\frac {-GM}{r}+\frac {GM}{r-R})}$

Para saber la maxima separacion r de los cascarones como se obtendria?

Tu lo puedes hacer como tu lo desees, no pretendo imponerte mi punto de vista, pero a mi no me gusta la primera expresión en función de $x$ (a menos, claro está, que le añadas la coletilla del rango de validez de $x$ a la expresión, $R \leqslant x \leqslant r-R$). Tampoco es necesario que la escribas... tratándose de fuerzas conservativas sólo necesitas conocer la energía potencial en los extremos del recorrido.

Para responder la otra pregunta sería bueno que resolvieras la suma de quebrados bajo el signo radical y te fijes para qué valores de $r$ obtienes una respuesta válida.

Saludos,

Al

[lindtaylor]

Re: Sobre dos cascaras esfericas (gravitacion)

$\displaystyle \frac {1}{r}-\frac {1}{r-x}=\frac {1}{x} -\frac {1 }{R}$ Lo que yo hize fue tomar esto, que viene de la igualdad de los potenciales, con $\dot x = 0$ (para que la masa llegue justo con velocidad 0), luego en esta ecuacion despejo r en funcion de $x$ y derivo $r$ con respecto a $x$ e igualo a para asi obtener $x min.$

Luego $\displaystyle r=x+R$ que en este caso me dio $\displaystyle x=\frac {3R}{2}$
luego el maximo r que pueden estar separado las cascaras es $\displaystyle r=\frac {5R}{2}$

[Al2000]

Re: Sobre dos cascaras esfericas (gravitacion)

Si, disculpa pero la última parte de mi respuesta no es muy útil. Y es que no me había detenido a pensar en la forma de la función potencial. Si hubiese hecho el esquema pedido en la primera parte me hubiese dado cuenta de que el potencial hace "una lomita" en el espacio entre las dos esferas. La máxima separación posible la puedes obtener evaluando el potencial en el punto medio (por la simetría) y viendo para cuáles valores de $r$ el potencial en el punto medio es menor que el potencial en el centro del cascarón. Mis cuentas me dicen que el máximo valor de $r$ es... no, mejor te dejo que lo calcules tú

Perdón por esa...

Saludos,

Al

[lindtaylor]

Re: Sobre dos cascaras esfericas (gravitacion)

Y porque esa condicion es la necesaria para obtener el radio maximo de alejamiento?
Segun veo el potencial va disminuyendo a medida que la particula dentro del cascaron 1 se va acercando hasta el cascaron 2, hasta que logra salir, y es aqui donde el potencial va aumentando hasta su maximo potencial que ocurre en $r/2$ . o no?
y otra cosa... el grafico iria algo asi? perdon por tanto preguntar mister Al .

[Al2000]

Re: Sobre dos cascaras esfericas (gravitacion)

Para ponerlo en términos de energía, la energía potencial de la partícula pasa por un máximo local en el punto medio estre los dos cascarones. La curva de energía potencial, que debiste haber esquematizado como respuesta al primer inciso, empieza con cierto valor en el centro del cascarón y disminuye conforme te acercas a la superficie. Una vez atraviezas la superficie del cascarón, la energía potencial empieza a subir hasta alcanzar un máximo en el punto medio de separación de las dos cáscaras. A partir de allí la energía potencial disminuye hasta llegar a la superficie de la otra cáscara para luego aumentar de nuevo hasta llegar al centro. Como una imagen vale mas que mil palabras, échale un ojo a la gráfica del potencial siguiente:



La altura de la "lomita" en medio de los dos cascarones depende de la distancia $r$. La partícula $m$ que parte del centro del cascarón izquierdo se mueve "cuesta abajo" hasta llegar a la superficie y luego debe superar la "lomita" para alcanzar la otra superficie. Esto sólo será posible si el potencial en el punto medio es menor que el potencial de partida, en el centro del cascarón.

Saludos,

Al

[lindtaylor]

Re: Sobre dos cascaras esfericas (gravitacion)

Ya me ha quedado claro, con todo lo que me has dado, aparte que acabo de darme cuenta que u(x)<E si no la energia cinetica seria negativa algo que no puede ser.
Gracias y perdon si pregunto mucho .

PD:cque programa usaste para eso?o.o

[Al2000]

Re: Sobre dos cascaras esfericas (gravitacion)

No te preocupes por preguntar, que responder es mas divertido que matar mounstros en la PC El programa que usé es Mathcad.

Saludos,

Al