Otras carreras radio de curvatura

[T_O_N_I]

Holas a todos bueno tengo un problema y no se como solucionar he solucionado mi primera pregunta pero esta me pone en aprietos:

Encontrar el radio de curvatura de un proyectil a partir de su origen de la trayectoria si este es disparado con Vo= 20m/sg y angulo de 30º.

bueno ya encontre en el punto mas alto de la trayectoria es lo primero que me pedian, que me salio 30,61m,

como parte del origen MI aceleracion tangencial ya no sera cero, por lo que no se donde meterla me podeis ayudar, se los agradezco de antemano

[pod]

Re: radio de curvatura

Hay varias formas de encontrar el radio de curvatura. Una de ellas es a partir de la aceleración normal,

$$a_n = \frac{v^2}{r} .$$

La aceleración normal es la parte de la aceleración que es perpendicular a la velocidad. Podemos utilizar las propiedades del producto vectorial para saberla,

$$a_n = \frac{1}{v} \big| \vec v \times \vec a \big| .$$

Igualando, obtenemos

$$r = \frac{v^3}{|\vec v \times \vec a|} .$$

En el problema en cuestión, tienes (supongo que el ángulo de 30º se mide desde la horizontal)

$$\begin{aligned}<br /> \vec x & = v_0 \cos\theta t \hat\imath + \left( v_0 \sin\theta t -\frac12 g t^2 \right) \hat\jmath , \\<br /> \vec v & = v_0 \cos\theta \hat\imath + \left( v_0 \sin\theta - g t \right) \hat\jmath , \\<br /> \vec a & = - g \hat\jmath .<br /> \end{aligned}$$

De donde tenemos

$$\begin{aligned}<br /> v^2 & = (v_0 \cos\theta)^2 + \left( v_0 \sin\theta - g t \right)^2 = v_0^2 - 2 v_0 g t\sin\theta + (g t)^2 \ , \\<br /> | \vec v \times \vec a | & = v_0 g \cos\theta .<br /> \end{aligned}$$

Con lo cual,

$$r = \dfrac{ \Big( v_0^2 - 2 v_0 g t\sin\theta + (g t)^2 \Big)^{3/2} }{ v_0 g \cos\theta } .$$

También es posible que te interese escribirlo en función del punto de la trayectoria en vez del tiempo. En ese caso basta con hacer el cambio $t = x / v_0 \cos\theta$,

$$r = \dfrac{ \left[ v_0^2 - 2 g x \tan\theta + \left(\frac{x g}{v_0 \cos\theta}\right)^{\!\!2} \right]^{3/2} }{ v_0 g \cos\theta } .$$

Ahora sólo es cuestión de hacer la aplicación numérica que te piden. Y, por favor, repasa los cálculos por si me he equivocado al copiar en el foro.