1r ciclo Ecuación diferencial??

[skinner]

Hola buenas

Resolviendo un ejercicio de física, llegué a una ecuación diferencial del siguiente tipo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Tengo que calcular $\theta$ pero hasta el 2º cuatrimestre no vemos las EDOs (hasta marzo-abril) y el examen de física lo tengo el lunes que viene... el profe dice que tenemos que ser capaces de resolver EDOs de este tipo, ¿qué puedo hacer?

Un saludo y mil gracias

[carmelo]

Re: Ecuación diferencial??

Hola:

No se de donde proviene tu ecuación diferencial, pero me parece que el exponente en la derivada segunda está de más. Si dices que es un ejercicio de física, la ecuación debería de ser dimensionalmente correcta. Al lado derecho tenés $s^{-2}$ y del lado izquierdo $s^{-4}$. Tal vez deberias plantear el ejercicio completo, porque si es como me imagino no sólo tenés problemas para resolver EDO, sino que tenes problemas para plantearlas correctamente.

Si es como supongo (es una conjetura, te repito que no se de donde puede provenir esta ecuación), la ecuación sería del tipo:

$\ddot{\theta}=-\dst\frac g R \sin \theta$, que para pequeños valores de $\theta$ se convierte.
$\ddot{\theta}+\dst\frac g R \theta=0$ cuya solución es un movimiento armónico simple con $\omega^2=\dst\frac g R$.

Te reitero, deberias plantear el ejercicio completo para que te pudieramos ayudar sin tener que hacer conjeturas.

Saludos
Carmelo

[skinner]

Re: Ecuación diferencial??

Vale, Carmelo, el ejercicio dice así:

[skinner]

Re: Ecuación diferencial??

Una partícula P, de masa m, es abandonada en reposo en el punto más alto de un disco vertical de radio R que descansa apoyado en el suelo. Debido a una ligera perturbación, la partícula comienza a deslizar bajo la acción de la gravedad. Suponiendo que no hay rozamiento, determina el punto en el que la partícula pierde contacto con el disco, así como la velocidad con la que impacta contra el suelo.

Un dibujito lo encontrarás en el ejercicio 6 de este boletín.

Yo lo resolví de la siguiente manera:

Tenemos una restricción geométrica: $P\in \Gamma :x^{2}+y^{2}-R^{2}=0$. Esta restricción será válida (actuará) tan sólo para instantes de tiempo anteriores al instante en el que la partícula se separa del disco. Según la 2ª Ley de Newton: $\dst \vec{P} + \vec{{\Phi}_{liso}}=\vec{0}$

A partir de ahí, proyectando el vector Peso sobre los vectores Normal y Tangente a la trayectoria en el punto de despegue; considerando que $\dst \vec{{\Phi}_{liso}}$ sólo tiene componente en la dirección Normal (la única restricción es que la bolita no "se meta" dentro del disco; no hay restricciones a lo largo de los vectores Tangente y Binormal del triedro intrínseco de Frenet); que en el punto de despegue, $\dst \vec{{\Phi}_{liso}}=\vec{0}$; y comparando componentes, llego a esa EDO.

El resultado es correcto, de hecho en la solución viene esa EDO, salvo que lo resuelve utilizando el Teorema de las Fuerzas Vivas (que junto con la EDO, te da el ángulo de despegue, y así el punto buscado)

¿Me podéis ayudar porfavor? Mi profe lo resolvió usando coordenadas polares.

El problema no es la física, sino la resolución de la EDO, pero si lo véis adecuado, cambiad el tema de subforo.

Un saludo!

[carmelo]

Re: Ecuación diferencial??

Hola:

Como yo lo veo, la ecuación de ligadura se va a cumplir independientemente del movimiento, dado que la masa está engarzada en el aro (o sea que está unido firmemente a él).

Si consideras la aceleración tangencial, se tiene:

$$m a_t=m \dst\frac{\mathrm{d^2s}}{\mathrm{dt^2} } =mg\sin \alpha$$

Por geometría tenes que, $\dd s=-R\dd \alpha$, por lo tanto.

$-R\dst\frac{\mathrm{d^2\alpha}}{\mathrm{dt^2} } =g\sin \alpha$

o reagrupando

$\dst\frac{\mathrm{d^2\alpha}}{\mathrm{dt^2} } +\dst\frac g R\sin \alpha=0$, que como te dije antes si las oscilaciones son pequeñas se tiene, que $\sin \alpha \approx \alpha$ y la ecuación de movimiento es un MAS. Nota la analogía de este sistema, con un péndulo.

Saludos
Carmelo

[skinner]

Re: Ecuación diferencial??

Carmelo, creo que te equivocaste de ejercicio. Es el número 6, no el número 4 :P

¿Cómo resuelvo la EDO pues? La solución del ejercicio viene aquí, en esta hoja de soluciones. Como puedes observar la EDO es correcta.

Un saludo!

[polonio]

Re: Ecuación diferencial??

Hola, skinner.

Creo que en la wiki del departamento está bien clarita la solución

Pero, bueno, yo no me metería a resolver la ecuación diferencial (no es necesario). Usando componentes intrínsecas en lugar de polares el problema sale muuuucho más fácil (no sé si el problema lo habrá resuelto Gabi, que se enrolla como las persianas, Antonio que se le va la olla, o Pedro el espeso: desde el cariño a estos tres). Sólo tienes usar la segunda ley de Newton y aplicar conservación de la energía.

Por cierto, ¿tienes de profesor al amigo Gabi o a Pedro? No sé de qué grupo eres, pero te estaré vigilando, ¡juas, juas! (no se nota que soy del departamento, ¿eh? )

[Jose D. Escobedo]

Re: Ecuación diferencial??

La particula se desprende de la parte alta del disco porque es un punto inestable, asi que no habra oscilaciones. A este nivel, skinner lo que te estan pidiendo es que apliques bien los conceptos de conservacion de energia y la 2da ley de newton.

$\dst mg2R = mgH + \frac{1}{ 2}mv^2$ ...(1) conservacion de la energia

$\dst N-mg \sin \theta =-m\frac{v^2}{ R}$...(2) 2da ley de Newton

de la 2da ley (2) se tiene que cumplir que $N=0$...(3) que es cuando la particula pierde contacto con el disco, ademas $\dst \sin \theta =\frac{H-R}{R }$...(4)
para esta condicion (4) has dibujos y lo comprobaras

sustituyendo (3) y (4) en (2) obtendras $\dst v^2 =g(H-R)$ ...(5)

Finalmente (5) en (1) que resultara $\dst H=\frac{5}{ 3}R$

Nota:tambien se puede hacer en coordenadas polares, pero ahi si tienes que resolver una ecuacion diferencial que si no es igual a la que estan escribiendo, es realmente muy parecida, pero nada que no se pueda superar.

Saludos
Jose

[polonio]

Re: Ecuación diferencial??

Por cierto, me han dicho los "pajaritos" que no tienes que saber resolver la ec. diferencial... sólo tienes que saber plantearla. La solución la obtienes a partir de los teoremas de conservación.

[skinner]

Re: Ecuación diferencial??

Hola Polonio

Efectivamente, las clases de Física I me las está impartiendo el profe Gabriel. Dijo que, si bien no tenemos que saber resolver EDOs, hay algunas EDOs "tipo" que frecuentemente aparecen en problemas de dinámica. Mi duda en este caso es: estoy utilizando coordenadas cartesianas en lugar de polares (para mejor o para peor; al principio es difícil distinguir qué sistema se ajusta mejor a cada problema). Una vez obtengo esa EDO:

$$\left( \frac{\mathrm{d^2\theta } }{\mathrm{dt^2} } \right)^2 = \frac{g}{R}\sin{\theta}$$

parece ser que de alguna forma tengo que combinar el resultado con los teoremas de conservación.

¿No es posible obtener el ángulo de despegue de otra manera? Es fácil comprender que no siempre vas a "caer en la cuenta" de que la solución se obtiene a partir de los teoremas de conservación. ¿Y cómo es esta relación entre la conservación de la energía y la 2ª Ley de Newton de forma que te permita obtener el ángulo de despegue?

Muchas gracias a todos

Un saludo!

[carmelo]

Re: Ecuación diferencial??

Hola:

No se de donde sale esa ecuación diferencial. Lo que yo plantearía sería como sigue.
Si planteamos las ecuaciónes tangenciales y radiales tenemos.
Ecuación radial:

$$N+\dst\frac{mv^2}{R}=mg\cos \alpha$$

Ecuación tangencial:

$$m\dst\frac{\dd v}{\dd t}=mg\sin\alpha$$

Donde yo tomo $\alpha$ como el ángulo complementario a $\theta$ y se tiene que $\alpha(0)=0 \qquad v(0)=0$.

Trabajando con la parte tangencial se tiene.

$$\dst\frac{\dd v}{\dd t}=\dst\frac{\dd v}{\dd s}\frac{\dd s}{\dd t } =\dst\frac{\dd v}{\dd s}v=g\sin\alpha$$

Teniendo en cuenta que $\dd s = R \dd \alpha$, y separando variables
$v\dd v=gR\sin \alpha \dd \alpha$
Integrando se tiene:

$$\dst\frac{v^2}{2}=-gR(\cos \alpha - 1)$$

Ahora se sustituye en la ecuación radial, cuando $N=0$, y vas a llegar a que $\sin \alpha = \cos \theta = \dst\frac 23$

Saludos
Carmelo