1r ciclo ¿Qué hacer cuando una función característica o función generadora da infinito?

[idontknow]

Buenas,

pues eso tengo la duda que formula en el título del post. No creo que $\infty$ sea algo razonable y la verdad que no sé que se ha de hacer. Por ejemplo, tengo 1 ejemplo donde me da así:

$\\ <br /> \rho_X (x) = \begin{aligned}<br /> 0, x < 0 \\<br /> e^{-x}, x >= 0<br /> \end{aligned}$

Función característica

$\int^\infty_0 e^{x(iu-1)}dx= \frac{\left[e^x \right]_0^\infty}{iu-1}$

Función generador

$\\ \int^\infty_0 e^{x(t-1)}dx=\frac{\left[e^x \right]_0^\infty}{t-1}$

¿Qué se ha de hacer?

[neometalero]

Re: ¿Qué hacer cuando una función característica o función generadora da infinito?

Buffff, se me escapa pero seguro que alguien aquí sabe que se puede hacer. Tal vez renormalizar??

[SO3]

Re: ¿Qué hacer cuando una función característica o función generadora da infinito?

El problema es que has integrado mal.La función caracteristica de la exponencial es $(1-iu)^ {-1}$ y la mgf $(1-u)^{-1}$.

Por otra parte, la función característica nunca puede valer infinito pues es uniformemente continua.

Sin embargo, la mgf si puede valer infinito, o mejor dicho, estar definida solo en un entorno del origen.

En el caso de la exponencial dicho entorno es $(-1,1)$, pero ten en cuenta que si la distribución es positiva casi seguro, por el teorema de la convergencia dominada, la mgf es $\sum_{0}^{\infty}\frac{u^n \mu_n}{n!}$ donde $\mu_n$ es el momento respecto del origen de orden $n$.

En nuestro ejemplo $\mu_n=n!$ (por partes e induccion se comprueba facilmente) y por lo tanto la serie que representa la mgf es la serie geometrica de parametro $u$, que converge en $\vert u \vert <1$ hacia $(1-u)^{-1}$ , el mismo resultado que obtenemos integrando $e^{tx}$.

[idontknow]

Re: ¿Qué hacer cuando una función característica o función generadora da infinito?

¡Ay si lo escribí mal! Cierto es que dónde están las e en el denominador no deberían de estar. Ahora lo modifico.

La verdad que no he acabado de entenderte SO3. Nos dieron esto muy rápido con muy poca explicación matemática y ando algo perdido. ¿Sabes de alguna web que lo expliquen detalladamente? Es que ni sé lo que es el teorema de convergencia dominada ni entiendo de dónde has sacado tu sumatorio ni lo del entorno de -1,1