1r ciclo Regla de la cadena?

[skinner]

Hola buenas! Tengo el siguiente ejercicio:

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EJERCICIO 10. Sea $f(t)$ una función de una variable derivable y sea $g(x,y)$ una función diferenciable. Entonces, la función $z(x,y):=f (g(x,y))$ es diferenciable. Expresa las derivadas $\dst \frac{\partial z(x,y)}{\partial x}$ y $\dst \frac{\partial z(x,y)}{\partial y}$ en función de derivadas de las funciones $f$ y $g$
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No sé si he entendido bien el ejercicio, pero yo diría que las soluciones son:

$\dst \frac{\partial z(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial x}\cdot \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} g(x,y)}$

$\dst \frac{\partial z(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial y}\cdot \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} g(x,y)}$

Por favor, ¿sería alguien tan amable de ayudarme en el razonamiento del ejercicio? Mis soluciones las saqué un poco a ciegas, diciendo: "bueno, la parcial de z respecto de x será la parcial de la función que está en el argumento (g) respecto de x, multiplicada por la derivada de la función f respecto de la variable (que tengo dudas en si es g, porque es lo que está dentro del paréntesis)"

Mil millones de gracias.

Un saludo

[neometalero]

Re: Regla de la cadena?

A ver si esto te ayuda: http://usuarios.multimania.es/calcul...ncial/id64.htm
Aunque yo miraría mejor este link, que te lo expresa de forma más genérica y luego concreta con ejemplos:
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_la_cadena
En concreto fijate en los puntos:
Notación de Leibniz
Derivadas de orden superior
Saludos!!

[skinner]

Re: Regla de la cadena?

Entonces, según la notación de Leibniz, he escrito bien lo de:

df/dg

MTus enlaces me han servido para saber algo más, pero las funciones con las que estoy trabajando son funciones en dos variables; tengo que trabajar con parciales, y todo eso. ¿Cómo procedo?

Un saludo y gracias por tu tiempo

[Al2000]

Re: Regla de la cadena?

Pongamos un ejempo sencillo sólo para fijar las ideas. Imagínate la función

$\dst z(x,y) = (x + 3 y)^2$

y suponte que deseas las derivadas respecto de $x$ y de $y$. Está claro que podríamos desarrollar el cuadrado para escribir la forma equivalente

$\dst z(x,y) = x^2 + 6 x y + 9 y^2$

y derivar esta expresión para obtener que

$\dst \frac {\partial z}{\partial x} = 2 x + 6 y\,,\,\,\, \frac {\partial z}{\partial y} = 6 x + 18 y$

pero usualmente lo que hacemos es considerar, muchas veces mentalmente, la función $z(x,y)$ como una función compuesta

$\dst z(x,y) = f^2\,,\, \text {con}\,\, f = f(x,y) = x + 3 y$

y hacemos las derivadas de la forma

$\dst \frac {\partial z}{\partial x} = \frac {dz}{df} \frac {\partial f}{\partial x} = 2 f \cdot 1 = 2 x + 6 y$

$\dst \frac {\partial z}{\partial y} = \frac {dz}{df} \frac {\partial f}{\partial y} = 2 f \cdot 3 = 6 x + 18 y$

que por supuesto da el mismo resultado. Es igual a lo que hacemos cuando tomamos la derivada de una función de una sola variable.

Saludos,

Al

[neometalero]

Re: Regla de la cadena?

Sin duda, esto te será de gran ayuda. Es mi regalo de reyes para ti jejeje.

(...)

[skinner]

Re: Regla de la cadena?

Mil gracias a los dos; lo tuyo, Al2000, me servirá para derivar funciones algo más complejas; y lo tuyo, neometalero, me sirve para comprender (o eso creo) el concepto. Estas dos ideas me conducen a pensar que mis respuestas del 1º post son correctas (¿no es así?)

Un saludo!