1r ciclo Calcular porcentaje de Nitrogeno en el Aire - Libro de Resnick, Halliday

[Weberger]

Este es el otro problema que no he podido realizar del capítulo 23(2a Edicion) del Resnick.

A 0ºC y 1.0 atm de presión, las densidades del aire, oxígeno y nitrógeno son
respectivamente, 1.293 kg/m3, 1.429 kg/m3 y 1.251 kg/m3 . Calcular el porcentaje de nitrógeno en el aire a partir de estos datos, suponiendo que solamente se encuentran estos dos gases.

El resultado, según el libro, es: 76,5% en masa, pero nose como llegar a ese resultado.

[H2SO4]

Re: Calcular porcentaje de Nitrogeno en el Aire - Libro de Resnick, Halliday

100 kg de aire ocupan un volumen V que podemos calcular así:

$V=\dst \frac{100}{1,293 }=77,3$ $m^3$

A su vez, en 100 kg de aire hay x kg de $O_2$ y (100-x) kg de $N_2$, y se ha de cumplir que

$m_{aire}=m_{O_2}+m_{N_2}$

$100=1,429V_{O_2}+1,251V_{N_2}$

y teniendo en cuenta que

$\dst V_{N_2}=77,3-V_{O_2}$

queda

$100=1,429V_{O_2}+1,251(77,3-V_{O_2})$

Resolviendo esta ecuación se encuentra que

$V_{O_2}=18,5$ $m^3$

Por tanto,

$V_{N_2}=77,3-18,5=58,8$ $m^3$

No olvidemos que este es el volumen de $N_2$ en 100 kg de aire, así que su masa será el porcentaje pedido. Con la ley de los gases calcularemos esa masa. Utilizando el SI de unidades, tendremos

$101300\times 58,8=\dst \frac{m}{0,028 }8,31\times 273$

de donde

$m=73,5 kg$ en 100 kg de aire, es decir, el 73,5 % en masa.

Veo que hay discrepancia con el resultado que tú das; revisa los cálculos.

Saludos

[skynet]

Re: Calcular porcentaje de Nitrogeno en el Aire - Libro de Resnick, Halliday

si llamamos A y B a los porcentajes de oxigeno y nitrogeno tendremos las ecuaciones:
1.293=1.429A+1.251B
A+B=1

y entonces:

1.293=1.251B+1.429-1.429B
0.178B=0.136
B=0,764

en realidad la respuesta correcta debería ser 76,4%

[Al2000]

Re: Calcular porcentaje de Nitrogeno en el Aire - Libro de Resnick, Halliday

...
Veo que hay discrepancia con el resultado que tú das; revisa los cálculos.
...

Revisé tus cálculos. Trabajando con todos los decimales, se obtiene el valor 73.82 %.

si llamamos A y B a los porcentajes de oxigeno y nitrogeno tendremos las ecuaciones:
...

Caiste en la misma trampa que yo. La fracción en masa sería

$\dst x = \frac {\rho_O - \rho_a}{\rho_O - \rho_N} \frac {\rho_N}{\rho_a} = 0.7392$

Yo diría que se trata de un error en el Resnick.

Saludos,

Al

[H2SO4]

Re: Calcular porcentaje de Nitrogeno en el Aire - Libro de Resnick, Halliday

...La fracción en masa sería

$\dst x = \frac {\rho_O - \rho_a}{\rho_O - \rho_N} \frac {\rho_N}{\rho_a} = 0.7392$

...

Cuando leí la respuesta de supernena -olé por su apodo- me convenció plenamente, al margen de que identifica la fracción en masa con el porcentaje, supongo que por las prisas; por otra parte, es directa y sencilla. Yo me lié tontamente resolviéndolo al tiempo que me peleo con el LATEX. Pero no entiendo el significado de la expresión que tú das. ¿Podrías aclarármelo?

[Al2000]

Re: Calcular porcentaje de Nitrogeno en el Aire - Libro de Resnick, Halliday

Lo puedes ver en el enlace que coloqué en mi mensaje anterior. Como supernena trabajó con números, no se aprecia la estructura de la fórmula que usó, pero lo que hizo es lo mismo que hice yo incorrectamente, identificar la fracción de densidad con la fracción de masa. Aquí copio lo que hizo supernena pasando los números a letras:

si llamamos A y B a los porcentajes de oxigeno y nitrogeno tendremos las ecuaciones:

$\dst \rho_\text {aire} = \rho_A A + \rho_B B$

$A+B=1$

y entonces:

$\dst \rho_\text {aire} = \rho_B B + \rho_A - \rho_A B$

$\dst (\rho_A - \rho_B) B = \rho_A - \rho_\text {aire}$

$\dst B = \frac {\rho_A - \rho_\text {aire}}{\rho_A - \rho_B}$

En cambio si partimos de la premisa de que los volúmenes se suman (algo discutible) y trabajamos con las fracciones de masa, tendríamos:

$\dst V_\text {aire} = V_A + V_B \quad \Rightarrow \quad \frac {M_\text {aire}}{\rho_\text {aire}} = \frac {M_A}{\rho_A} + \frac {M_B}{\rho_B} = \frac {M_\text {aire} A}{\rho_A} + \frac {M_\text {aire} B}{\rho_B}$

$A + B = 1$

Entonces

$\dst \frac 1 {\rho_\text {aire}} = \frac {1 - B}{\rho_A} + \frac B {\rho_B} \quad \Rightarrow \quad \boxed {B = \frac {\rho_A - \rho_\text {aire}}{\rho_A - \rho_B} \frac {\rho_B}{\rho_\text {aire}}}$

Saludos,

Al

[Jose D. Escobedo]

Re: Calcular porcentaje de Nitrogeno en el Aire - Libro de Resnick, Halliday

Eso de la suma de los volumenes, en este problema, si que es discutible, porque si se toma una muestra de un volumen arbitrario de aire (que en este caso es idealizado porque existen unicamente dos gases) el $O_2$ y el $N_2$ la probabilidad de que alguno de ellos este alojado en una region en particular del mismo volumen es muy poco probable, si no es que nula. La probabildad de la localizacion de cualquier particular gas es igualmente valida a travez del volumen ocupado.

Para mi este problema, cumple con las leyes de los gases y la ley de las presiones parciales
en terminos de la ley de los gases $\dst PV = n k_B T \Rightarrow \frac{n}{V }=\frac{P}{ k_B T}$ que es la densidad de particulas y que de acuerdo con la temperatura y presion dada es $\dst \frac{n}{ V}\approx \frac{1.01 (10^5)}{ 1.38 (10^{-23}) 273}\approx 2.680893985 (10^{25}) \frac{moleculas}{ m^3}$...(1)
Para encontrar la densidad del oxigeno se tiene que multiplicar (1) por la masa de la molecula de $O_2\Rightarrow$

$\dst m_O_2 = 16 (m_e + m_p +m_n) \approx 5.3614576 (10^{-26}) Kg$ (2)

de (1) y (2) se obtiene la dencidad del Oxigeno $\dst \delta_{O_2}\approx 1.437 \frac{kg}{m^3 }$ lo cual contradice que: $\dst \delta_{O_2} =1.429 \frac{Kg}{m^3 }$ se de antemano que no tome en considerasion los isotopos de $O_2$, pero eso es ir mas alla de lo que este problema requiere.
De lo anterior se sabe que tengo informacion extra ya sea las densidades de los gases o las condiciones de temp y presion.
Este problema se resuelve en terminos de las presiones parciales:
$\dst P_A =P_O_2 + P_N_2 \Rightarrow \dst \frac{P_A V}{k_B T } = n_O_2 + n_N_2$....(1) (si se analiza esta expresion se dara cuenta que el uso de densidades de los gases no tiene sentido, "asi que he utilizado las condiciones de temp y presion")

$\dst n_O_2 m_O_2 + n_N_2 m_N_2 =M_A =\delta_A V$...(2) la masa de todas las particulas de oxigeno y nitrogeno es igual a la masa del aire

Pero lo que nos piden es:

% de$N_2$ en masa $\dst =\frac{ n_N_2 m_N_2}{n_N_2 m_N_2 +n_O_2 m_O_2} \times 100$...(3)

Sustituyendo las $n's$ de (1) y (2) en (3) se encuentra el resultado (sin olvidar que he utilizando algunas constantes del Resnik) me da % de $N_2 \approx 77.96$%

Saludos

[Al2000]

Re: Calcular porcentaje de Nitrogeno en el Aire - Libro de Resnick, Halliday

Eso de la suma de los volumenes, en este problema, si que es discutible, porque si se toma una muestra de un volumen arbitrario de aire...

Yo estoy consciente de que asumir que los volúmenes se suman no es necesariamente cierto y mas difícil de aceptar en el caso de un gas. También pasó por mi mente la posibilidad de resolver el problema recurriendo al concepto de las presiones parciales. Pero es que al idealizar un gas y considerar que se cumple la ley de Dalton de las presiones parciales, automáticamente estamos aceptando la menos conocida ley de Amagat de los volúmenes parciales. Por consiguiente y siendo fiel a mi naturaleza haragana, me fui por lo mas fácil/directo.

Saludos,

Al

[Weberger]

Re: Calcular porcentaje de Nitrogeno en el Aire - Libro de Resnick, Halliday

Gracias a Todos por responder.
La respuesta de supernena es mas matematica que la de H2SO4, pero me gusto por lo sencilla. Despues, la explicacion de Al2000 me dejó mas claro de donde salen algunos calculos de supernena. La respuesta de José es algo mas larga y todavía la estoy analizando.

[Weberger]

Re: Calcular porcentaje de Nitrogeno en el Aire - Libro de Resnick, Halliday

De la ley de dalton de las presiones parciales tenemos:

${n_a=n_{o_2}+n_N}$

multiplicando la ecuacion por ${\frac{RT}{P}}$: donde T=0 Kelvin y P=1(atm)

${\frac{n_aRT}{P}=\frac{n_{o_2}RT}{P}+\frac{n_NRT}{P}}$

${V_a=V_{o_2}+V_N}$

La densidad del aire es:

${\rho_a = m_a/V_a = \frac{m_N+m_{o_2}}{V_a}}$

${\rho_a*V_a = \rho_N (V_a-V_{o_2})+\rho_{o_2}(V_{o_2})}$

Considerando sólo ${1 m_3}$ de aire:

${\rho_a = \rho_N (1-V_{o_2})+\rho_{o_2}(V_{o_2})}$
....
....

${V_{o_2}=0,24}$

y el porcentaje de masa para el Nitrógeno da:

%${m_N=100* \frac{m_N}{\rho_a V_a}}$

${\frac{\rho_N (1-V_{o_2})*100}{\rho_a}=73,4}$%

Saludos

[Al2000]

Re: Calcular porcentaje de Nitrogeno en el Aire - Libro de Resnick, Halliday

Nadó, nadó... y en la orilla se ahogó.

[carmelo]

Re: Calcular porcentaje de Nitrogeno en el Aire - Libro de Resnick, Halliday

Hola:

Se considera válido el modelo del gas ideal.

$$n_{\text{totales}}=n_{O_2}+n_{N_2}=\dst\frac{m_{O_2}}{M_{O_2}}+\dst\frac{m_{N_2}}{M_{N_2}}=\left(\dst\frac{m_{O_2}}{\rho_{O_2}}+\dst\frac{m_{N_2}}{\rho_{N_2}}\right)\dst\frac P{RT}$$

Donde se ha tomado:

$$\begin {matrix}<br /> M_{O_2}=\rho_{O_2}\dst\frac{RT}P & M_{N_2}=\rho_{N_2}\dst\frac{RT}P<br /> \end {matrix}$$

Ademas se tiene:

$$n_{\text{totales}}=\dst\frac{PV}{RT}$$

Comparando (1) con (2) se llega a:

$$V=\dst\frac{m_{O_2}}{\rho_{O_2}}+\dst\frac{m_{N_2}}{\rho_{N_2}}=\dst\frac{m_{\text{aire}}}{\rho_{\text{aire}}}$$

Ahora la fracción que queremos calcular es:

$$\begin {matrix}<br /> f=\dst\frac{m_{N_2}}{m_{\text{aire}}} & y & 1-f=\dst\frac{m_{O_2}}{m_{\text{aire}}}<br /> \end{matrix}$$

Dividiendo la segunda igualdad de (3) entre $m_{\text{aire}}$ se llega a:

$$\dst\frac{1-f}{\rho_{O_2}}+\dst\frac{f}{\rho_{N_2}}=\dst\frac1{\rho_{\text{aire}}}$$

Despejando se llega a

$$f=\dst\frac{\rho_{O_2}-\rho_{\text{aire}}}{\rho_{O_2}-\rho_{N_2}}\cdot\dst\frac{\rho_{N_2}}{\rho_{\text{aire}}}$$

El valor numérico es $f=0.7392$

Expresión ya obtenida por Al, pero no viene mal una forma distinta de llegar al mismo resultado.

Saludos
Carmelo

PD: Estuve revisando. Los valores de las densidades son correctos a esa temperatura, no obstante se obtiene un valor bastante alejado del valor real. Hay que reconocer que el valor del libro es mas cercano al real, asi como la respuesta de así que prometo revisarlo con mayor detenimiento.