Divulgación ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

[carroza]

Un ejemplito sencillo:

Todos sabemos que un objeto en un campo gravitatorio,
con g constante, se mueve segun la ecuación:

$z = z_0 + v_0 t - 1/2 g t^2$

Si no hubiera campo gravitatorio, se movería según

$z' = z_0 + v_0 t'$


Bueno, pues la "curvatura" del espacio tiempo quiere decir que
las coordenadas z y t, donde hay un campo gravitatorio,
se pueden expresar en función de las coordenadas z' y t' de un sistema
libre del campo, según las ecuaciónes

$z = z' - 1/2 g t'^2$
$t = t'$

Así, podemos decir que un objeto que se mueve en el seno de un campo
gravitatorio, está "libre", en el sentido de que, en las coordenadas
z' y t' sigue siempre la ecuación de una partícula libre, que es una
linea recta. El campo gravitatorio "curva" el espacio-tiempo porque
las coordenadas observables z y t dependen de forma no lineal de z' y t'.

[alshain]

Re: ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

La transformación que has puesto ahí corresponde con un sistema uniformemente acelerado y, por tanto, un espacio-tiempo con tensor de curvatura de Riemann nulo.

La pregunta es entonces ¿puede haber gravitación en tal caso? Esto depende de con qué estructura matemática de la teoría se hace corresponder el concepto de gravitación.

En los libros de texto modernos la gravitación se idenfitica con la curvatura, en cuyo caso tu ejemplo es un sistema libre de gravitación. No obstante, esta no era por ejemplo la posición de Einstein, que identificaba la gravitación con los símbolos de Christoffel.

En la interpretación original de Einstein la gravitación es algo que podía eliminarse por medio de un cambio de coordenadas adecuado, pero en la interpretación moderna no lo es.

Un saludo.

[carroza]

Re: ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

La transformación que has puesto ahí corresponde con un sistema uniformemente acelerado y, por tanto, un espacio-tiempo con tensor de curvatura de Riemann nulo.

La pregunta es entonces ¿puede haber gravitación en tal caso? Esto depende de con qué estructura matemática de la teoría se hace corresponder el concepto de gravitación.

En los libros de texto modernos la gravitación se idenfitica con la curvatura, en cuyo caso tu ejemplo es un sistema libre de gravitación. No obstante, esta no era por ejemplo la posición de Einstein, que identificaba la gravitación con los símbolos de Christoffel.

En la interpretación original de Einstein la gravitación es algo que podía eliminarse por medio de un cambio de coordenadas adecuado, pero en la interpretación moderna no lo es.

Un saludo.

Hola. El ejemplito que puse pretende mostrar que "la curvatura del espacio tiempo" es un concepto mucho mas sencillo de lo que parece, y que con conocimientos básicos de fisica se puede entender, incluso antes de ver relatividad. En este caso, "curvatura" se refiere a una relacion no lineal entre coordenadas y tiempos en el sistema del observador y en el sistema "inercial" o libre.
Estoy de acuerdo con tu puntualizacion de que en este caso, segun la definición de curvatura basada en el tensor de Riemann, en el caso citado no habría curvatura del espacio tiempo.
El caso considerado es similar a si consideramos la superficie de un cilindro como curvada o no. En cierto sentido tiene curvatura, aunque la curvatura de Riemann sea nula.


Con respecto a tu pregunta "puede haber gravitacion en este caso", pues yo diria que el campo gravitatorio unforme es un caso de gravitación. Estoy de acuerdo contigo en que ello implica que la curvatura de Riemann es nula. De hecho, en cualquier punto donde no haya masas no hay curvatura de Riemann.

La cuestion que planteas "eso depende de la estructura matematica de la teoria que se hace corresponder con el concepto de gravitacion" lleva a un interesante problema epistemologico, que separaría a los fisicos matemáticos del resto de los mortales:

Yo diria que la gravitacion existe, y es independiente de la estructura matematica que utilicemos para describirla. Y yo diria que el campo gravitatorio uniforme es un ejemplo de gravitación. Pero quizas un fisico matematico diria que para definir la gravitacion hay que definir antes la estructura matematica a la que corresponde.

[pod]

Re: ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

La transformación que has puesto ahí corresponde con un sistema uniformemente acelerado y, por tanto, un espacio-tiempo con tensor de curvatura de Riemann nulo.

La pregunta es entonces ¿puede haber gravitación en tal caso? Esto depende de con qué estructura matemática de la teoría se hace corresponder el concepto de gravitación.

En los libros de texto modernos la gravitación se idenfitica con la curvatura, en cuyo caso tu ejemplo es un sistema libre de gravitación. No obstante, esta no era por ejemplo la posición de Einstein, que identificaba la gravitación con los símbolos de Christoffel.

En la interpretación original de Einstein la gravitación es algo que podía eliminarse por medio de un cambio de coordenadas adecuado, pero en la interpretación moderna no lo es.

Un saludo.

La gravitación es la interacción entre la geometría del espacio-tiempo y el contenido del universo. Es una interacción en dos las dos direcciones; el contenido del universo afecta a la geometría y la geometría afecta a la trayectoria de las partículas que el universo contiene. Esta es una de las cosas más increíbles de las ecuaciones de Einstein, con una sola ecuación tensorial tenemos incluidas los dos sentidos de la interacción. En la teoría de Newton, primero tenías que calcular el campo y luego la aceleración causadas, dos ecuaciones vectoriales diferentes. Esto es posible gracias a que las ecuaciones de Einstein no son lineales.

El valor de los Christoffelds o del escalar de curvatura no tiene nada que ver con la gravitación. Si el caso del campo gravitatorio constante no es suficiente para ti, piensa en la geometría de un cilindro o un toro. En ambos casos, tanto los símbolos de Christoffeld, como el escalar de curvatura son nulos, pero es evidente que el comportamiento de una partícula no es el mismo que en un caso plano; sin ir más lejos, puede haber geodésicas periódicas.

De hecho, en cualquier punto donde no haya masas no hay curvatura de Riemann.

Una pequeña puntualización: donde no haya energía. Cualquier forma de energía afecta a la geometría del espacio-tiempo (tiene tensor de impulso no nulo). La masa es sólo una forma de energía.

[alshain]

Re: ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

El valor de los Christoffelds o del escalar de curvatura no tiene nada que ver con la gravitación.

Son dos cosas diferentes; los símbolos de Christoffel pueden hacerse cero con un cambio de coordenadas, pero el escalar de curvatura no ya que es un invariante. Pero a mí la interpretación moderna de que la gravitación es curvatura, o asociable a algún invariante como el tensor de curvatura o alguna de sus contracciones, no me gusta. Preferiría entender la gravitación de forma algo más ámplia.

Un campo gravitatorio uniforme es un campo gravitatorio, el más sencillo, pero su curvatura es nula. No obstante, se habla de campo "gravitatorio", y, en un sistema de coordenadas apropiado, existe una aceleración, resultado de símbolos de Christofell no nulos, que se identifica con la fuerza de la gravedad. En ese sentido la "fuerza de la gravedad" es algo dependiente del observador. Distinto son las fuerzas de marea que es lo que en la forma moderna de ver las cosas es identificado con gravedad.

En definitiva, gravitación es tanto fuerza de marea y por tanto curvatura, como aceleración uniforme. (Aviso: nadie que lea esto lo tome como correcto, porque es mi forma personal de interpretarlo.)

Un saludo.

[Ghiret]

Re: ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

Un campo gravitatorio uniforme es un campo gravitatorio, el más sencillo, pero su curvatura es nula. No obstante, se habla de campo "gravitatorio", y, en un sistema de coordenadas apropiado, existe una aceleración, resultado de símbolos de Christofell no nulos, que se identifica con la fuerza de la gravedad. En ese sentido la "fuerza de la gravedad" es algo dependiente del observador. Distinto son las fuerzas de marea que es lo que en la forma moderna de ver las cosas es identificado con gravedad.

En Relatividad General no existe la gravedad como tal. No hay ningún campo ni fuerza con tales características. Se tiene un espacio tiempo cuatridimensional modelado mediante una variedad diferencial de métrica Lorentziana(con un menos y tres más, o viceversa) que es solución de las ecuaciones de Einstein. Lo que se hace en el modelo Newtoniano y de Relatividad Especial es usar una variedad sin curvatura y un campo que modifica las trayectorias rectas de las partículas; aquellas que seguirían si no estuvieran moviéndose bajo la acción de esa fuerza. Sin embargo, el punto de vista de la Relatividad General es que ese campo pasa al fondo del escenario. Una partícula libre no sigue líneas rectas, sino que sigue las geodésicas. Que son lo más parecido a una línea recta que existe en ese espaciotiempo. Una geodésica es el movimiento libre, no acelerado. La gravedad no es una fuerza.

El problema viene cuando mezcláis ambas visiones, la newtoniana y la einsteniana. O tienes un espaciotiempo plano y un campo gravitatorio o un espaciotiempo curvo sin gravedad, pero nada de mezclas raras.


Es por eso que no existe un campo gravitatorio uniforme en RG, no existe ningún campo gravitatorio.

Cita:
Empezado por pod
El valor de los Christoffelds o del escalar de curvatura no tiene nada que ver con la gravitación.

Son dos cosas diferentes; los símbolos de Christoffel pueden hacerse cero con un cambio de coordenadas, pero el escalar de curvatura no ya que es un invariante. Pero a mí la interpretación moderna de que la gravitación es curvatura, o asociable a algún invariante como el tensor de curvatura o alguna de sus contracciones, no me gusta. Preferiría entender la gravitación de forma algo más ámplia.

Eso no es del todo correcto. En una variedad de las de RG, con y sin curvatura puedes reducir, en primer orden de aproximación, la métrica a la de Minkwoski. Eso que va entre las comas, es importante. El hecho de que puedas reducir la métrica en primer orden a la de Minkowski significa que puedes encontrar un cambio de coordenadas tal que en un punto(y estrictamente hablando sólo en uno) la primera derivada de la métrica es nula. Pero, en general, no es nula la segunda derivada, ni las de órdenes mayores.

Los Símbolos de Cristoffell, que no son más que una corrección a la derivada parcial para hacerla covariante y darle sentido a comparar dos vectores en dos puntos distintos del espacio tangente a la variedad, se calculan en función de la primera derivada de la métrica como:

$<br /> \Gamma^{\rho}_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\rho\sigma}\left[\partial_{\mu}g_{\nu\sigma}+\partial_{\nu}g_{\sigma\mu}-\partial_{\sigma}g_{\mu\nu}\right]<br />$

Así, en cualquier espaciotiempo, podemos encontrar un sistema de coordenadas donde los Chirstofell sean nulos. Y podemos hacerlo en un punto en el horizonte de sucesos de un agujero negro, o pasado el mismo. Pero eso, en un punto. ¿Dónde está la curvatura ahí? Pues en la segunda derivada, el Tensor de Curvatura de Riemann se calcula según productos de Christofell's y sus primeras derivadas, que son las segundas derivadas de la métrica y que no son nulas. En general, no puedes hacer ningún cambio de coordenadas que anule simultáneamente todas las segundas derivadas de la métrica, a menos que no tengas curvatura. De hecho, para saber si un espacio es curvo o no sólo tienes que calcular los coeficientes del Riemann. Si éstos son todos ceros, en 4 dimensiones son 20, entonces tienes un espacio plano.

Por ejemplo, en cilíndricas calculo los Christofells y no son nulos. Pero sí el Riemann. Es idénticamente nulo(en todo el espacio) y por tanto no hay curvatura.

Cita:
Empezado por carroza
De hecho, en cualquier punto donde no haya masas no hay curvatura de Riemann.

Una pequeña puntualización: donde no haya energía. Cualquier forma de energía afecta a la geometría del espacio-tiempo (tiene tensor de impulso no nulo). La masa es sólo una forma de energía.

Sería "cualquier espaciotiempo donde no haya energía en ningún punto", ¿no?(o a efectos prácticos el contenido en masa-energía sea tan pequeño que no afecte a la curvatura.

La solución de Schwarchild es la del vacío :$R_{\mu\nu}=0$, pero tiene curvatura y un agujero negro. De hecho, la curvatura viene fijada por la masa del agujero negro, que está en una región donde la solución no se calcula en principio.

Nota: Para más, o contrastar:
http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9712019

Yo he leido el libro, que es una versión posterior. Pero es genial.

[Phoenix]

Re: ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

Me impresionas Ghiret, aunque aún no se de lo que hablas porque ya sabes que no me he cojido Relatividad General.

De todas formas referente la conversación esa que tuvimos en tu piso sobre el hecho de que sólo mientras caes te mantienes en un sistema inercial... no se, sigo en mis trece de que... hostia, ahora he caído. Tienes razón, ya que sigues las geodésicas coño. Mira que era fácil, pero me ha costado el hecho de separar la concepción Newtoniana de fuerza de en medio.

De lo demás no he entendido mucho, la verdad... ¡pero lo entenderé!

P.D. Uf cuanto tiempo sin pasar por aquí... Hola!

[Ulises2357]

Re: ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

Crei que el tensor de ricci en coordenadas cilindricas era diferente a 0.

[Ghiret]

Re: ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

Ulises2357
Crei que el tensor de ricci en coordenadas cilindricas era diferente a 0.

En espacio euclídeo ó espaciotiempo de Minkowski, el tensor de Ricci, como el de Rienman, es nulo. En cualquier sistema de coordenadas.(De hecho es debido a que el de Rienman es nulo, como el de Ricci es una contracción de éste, es nulo; cero más cero es cero).

Si usas coordenadas cilíndricas en otro espaciotiempo con curvatura, entonces el tensor de Rienman no será nulo.

El hecho de que un tensor sea nulo o no, no depende de las coordenadas, esa es la propiedad principal de los tensores y por lo que se usan en física: son objetos matemáticos independientes de la base. Eso sí, puede que una coordenada en particular sea nula en un sistema y en otro no.

Los símbolos de Christofell, por el contrario, no son tensores(se pueden expresar como un tensor más un factor que no transforma de acuerdo a la ley de transformación de un tensor, sino con una expresión que depende de segundas derivadas de las coordenadas más la ley de transformación de un tensor), es por eso, que en un mismo espacio pueden ser completamente nulos en un sistema de coordenadas(cartesianas en euclídeo) y no en otro(esféricas en euclídeo).

[alshain]

Re: ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

Ghiret, estoy de acuerdo con todo lo que escribes, pero me parece algo injusto que en vez de ir a la esencia de mi mensaje te hayas quedado en cosas secundarias. Me dices que no es correcto lo que escribo sobre los símbolos de Christoffel y me replicas exáctamente lo mismo que he escrito: que pueden hacerse nulos con un cambio de coordenadas adecuado. Perdona que exprese mi malestar con esto, pero me parecen ganas de discutir por discutir.

Pero vayamos a la esencia del asunto, que creo que es un tema legítimo y muy interesante. Dejando también de lado la discusión semántica sobre si existe un campo gravitatorio o no, el caso es que la relatividad general es una teoría sobre la gravitación. La gravitación es una interacción y se manifiesta a través de ciertos fenómenos con ciertas causas. En concreto, la relatividad general postula una relación entre geometría y contenido de densidad y momento del espacio-tiempo, que nos da la descripción de la interacción gravitatoria.

Pues bien, mi post anterior era una primitiva disquisición sobre a qué entidad matemática se puede asociar la interacción gravitatoria. "Geometría" sin más, es, evidentemente, demasiado vago. Argumento en el post anterior que la interacción gravitatoria no puede indentificarse únicamente con la curvatura del espacio-tiempo. Y eso es lo que me hubiera gustado discutir. Si quieres también puedes enfocarlo desde otro punto de vista: ¿cuáles son los grados de libertad clásicos de la gravitación? ¿están codificados en la métrica, en la curvatura, o en qué?

Un saludo.

[carroza]

Re: ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

Pues bien, mi post anterior era una primitiva disquisición sobre a qué entidad matemática se puede asociar la interacción gravitatoria. "Geometría" sin más, es, evidentemente, demasiado vago. Argumento en el post anterior que la interacción gravitatoria no puede indentificarse únicamente con la curvatura del espacio-tiempo. Y eso es lo que me hubiera gustado discutir. Si quieres también puedes enfocarlo desde otro punto de vista: ¿cuáles son los grados de libertad clásicos de la gravitación? ¿están codificados en la métrica, en la curvatura, o en qué?

Un saludo.

Hola.

Dejadme que contribuya de nuevo a este hilo.

Imaginemos que no sabemos nada de curvaturas, simbolos de Cristoffel, tensores de Riemann, etc.
Imaginemos que ni siguiera sabemos las leyes de Newton. ¿Podemos hablar de la gravedad?

Yo creo que si.

No existe gravedad (ni ningun tipo de fuerza) cuando particulas libres se mueven en linea recta.

$z(t) = z_0 + v_0 t$

Existe gravedad cuando todos los objetos que tengan una posicion inicial $z_0$ y una
velocidad inicial $v_0$ se mueven exactamente de la misma forma, desviandose de la recta.

$z(t) = z_0 + v_0 t + F(z_0,v_0,t) (1)$


Ahora, la pregunta es: Cuándo podemos describir el efecto de la gravedad como una "curvatura" (en el sentido más amplio) del espacio-tiempo.

Yo diria que, si somos capaces de encontrar unas coordenadas (z',t'), tales que el movimiento viene dado por

$z'(t') = z'_0 + v'_0 t'$


y unas transformaciones, no lineales en general, tales que

$z=z(z',t') \quad t=t(z',t')$

de tal manera, que en las variables z,t se cumpla la ecuación (1), entonces podremos decir que la gravedad es equivalente a una curvatura del espacio-tiempo.


Esto ocurre en el campo gravitatorio constante, ocurre en relatividad general, y para mí que deberia ocurrir en la gravitacion de Newton.

Es mas, si alguien demuestra que, para funciones arbitrarias F(z_0,v_0,t) , existe una transformacion $z=z(z',t') \quad t=t(z',t')$ que hace que se cumpla (1), entonces
podriamos concluir que cualquier tipo de gravitacion es equivalente a una curvatura del espacio tiempo.

[alshain]

Re: ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

No entiendo tu mensaje carroza y no lo entiendo por la misma razón que ya expliqué en mi primera aportación a este tema. Me parece contradictorio. Por un lado quieres definir la gravitación a partir de cambios de coordenadas hacia sistemas acelerados, pero por otro dices que la gravedad es equivalente a la curvatura del espacio-tiempo. Ambas cosas no se dejan compaginar. Si existe un cambio de coordenadas como el que mencionas, que nos permite pasar de un sistema acelerado a otro inercial, entonces el espacio-tiempo carece de curvatura. Por el contrario, si el espacio-tiempo tiene curvatura, tal transformación es imposible, ya que el tensor de curvatura y cualquiera de sus contracciones son invariantes frente a cambios de coordenadas. Es posible no obstante encontrar un sistema de referencia en el cual las primeras derivadas de la métrica y con ello los símbolos de Christoffel se anulan, como ya se ha comentado, pero no uno en el cual la curvatura desaparezca por completo.

Si uno quiere definir la gravitación de forma invariante frente a cambios de coordenadas debe elegir la curvatura como entidad matemática adecuada para ello. Sin embargo, esta elección deja fuera el fenómeno que mencionas tú. Un campo gravitatorio uniforme descrito por una métrica de Rindler es una solución a las ecuaciones de Einstein válida como cualquier otra. No obstante, es equivalente al espacio-tiempo de Minkowski de curvatura nula, ya que existe un cambio de coordenadas que relaciona ambos. La cuestión es por tanto ¿es un campo gravitatorio uniforme un campo gravitatorio? La cuestión tiene probablemente algo de semática, pero quizás no tanto, si nos preguntamos qué es lo que realmente medimos cuando decimos que hay gravitación y con qué fenómeno observable identificamos tal interacción.

Un saludo.

[carroza]

Re: ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

No existe gravedad (ni ningun tipo de fuerza) cuando particulas libres se mueven en linea recta.

$z(t) = z_0 + v_0 t$

Existe gravedad cuando todos los objetos que tengan una posicion inicial $z_0$ y una
velocidad inicial $v_0$ se mueven exactamente de la misma forma, desviandose de la recta.

$z(t) = z_0 + v_0 t + F(z_0,v_0,t) (1)$

Alshain, ¿estariamos de acuerdo en que esta es una definición de gravedad?


Luego podemos discutir las matematicas (curvaturas, etc).

[alshain]

Re: ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

Alshain, ¿estariamos de acuerdo en que esta es una definición de gravedad?

Estoy de acuerdo.

[carroza]

Re: ¿Por qué la gravedad curva el espacio-tiempo?

Alshain, ¿estamos de acuerdo de que una particula que se mueve libremente en un campo gravitatorio (a lo largo de una geodesica) podemos definir unas coordenadas locales (x',y',z'), y un tiempo propio t', tales que el movimiento de la particula viene determinado por
$z'(t') = z'_0 + v'_0 t'$?