Secundaria Estática de partículas

[warny]

Hola buenas noches,

Este es un problema de estática en el cual no sé exactamente qué tengo que realizar.
Es un ejercicio opcional propuesto en clase para subir nota.
Me gustaría que me pudiéseis comentar cómo se realizaría este ejercicio.

Un saludo.

[lindtaylor]

Re: Estática de partículas

Creo que es así: (aunque faltaría encontrar $l_0$ :B)

$V=\frac {1}{2}k(\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2})-l_0)^2$

$x'=-a/3<br /> y'=b/3$

y de:

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ tenemos la relación entre $x$ e $y$.

Luego faltaría hacer $\frac {\mathrm {d}V}{\mathrm {d} x}=0$ para encontrar los puntos de equilibrio.

[warny]

Re: Estática de partículas

¿Y no necesitaríamos saber el ángulo?

Un saludo

[Al2000]

Re: Estática de partículas

...
Luego faltaría hacer $\frac {\mathrm {d}V}{\mathrm {d} x}=0$ para encontrar los puntos de equilibrio.

Estoy de acuerdo contigo, pero lo intenté y no tuve éxito, pues me salieron relaciones muy complicadas. Una posible solución alternativa sería:

Hay dos soluciones, una que depende de $l_0$ y otra que no. El primer caso ocurre si el valor de $l_0$ es tal que el punto sobre la elipse se encuentra a la distancia $l_0$ del punto P:

$$(x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = l_0^2$$

El segundo caso ocurre cuando $l_0$ es menor/mayor que la menor/mayor distancia del punto P a la elipse, las cuales se pueden conseguir con:

$$\frac d {dx} \left[(x-x_p)^2 + (y-y_p)^2\right] = 0$$

Usando este método he conseguido con el Mathcad los cuatro puntos de equilibrio

pero en verdad no he comprobado los puntos a ver si de verdad representan un equilibrio. En particular tuve que elegir los signos de $y$ al ojo para que cuadraran en el gráfico siguiente



el cual se ve razonable pero insisto que no he comprobado, de modo que tomar los resultados con discreción.

Saludos,

Al

PD. El método de buscar los cuatro puntos cuyas tangentes a la elipse sean perpendiculares a la línea trazada al punto P también me llevó a un polinomio de orden 4 (o tal vez mayor) pero no lo seguí verificando pues iba en un taxi camino al trabajo y no tenía a mano ninguna herramienta.

[carmelo]

Re: Estática de partículas

Hola:

La forma de resolver el ejercicio que mencionas en la posdata es la que se me ocurrió a mi. Efectivamente conduce a un polinomio de cuarto grado en el que las soluciones coinciden con las que planteas en la tabla expuesta.

Saludos
Carmelo

[warny]

Re: Estática de partículas

Sí, cierto, el profesor dijo que llegaríamos a una ecuación de cuarto grado, y que habría que dejarla como tal, sin calcular los puntos.

[polonio]

Re: Estática de partículas

Ya que tenemos un único grado de libertad, queda más sencillo si tomamos como coordenada generalizada $\theta$ y analizamos el equilibrio mediante el principio de los trabajos virtuales de forma que:

$$\dst \delta V=0 \to \frac{\partial V}{\partial \theta}=0$$

Tomando esta coordenada generalizada tenemos que:

$$\begin{aligned}<br /> &x = a \cos \theta \\<br /> &y = b \sin \theta<br /> \end{aligned}$$

Con lo que, tomando los datos $\dst x_P=-\frac{a}{3}$, $\dst y_P=\frac{b}{3}$, nos queda:

$$\dst V=\frac{1}{2}k \left[ \sqrt{(a \cos \theta +\frac{a}{3})^2+(b \sin \theta -\frac{b}{3})^2} -l_0 \right]^2$$

Al hacer

$$\dst \frac{\partial V}{\partial \theta}=0$$

Nos queda (si no me he equivocado, que lo he hecho muy rápido):

$$\dst -a^2(\cos \theta+ \frac{1}{3}) \sin \theta+b^2(\sin \theta - \frac{1}{3}) \cos \theta=0$$

Esta ecuación, aunque tampoco es fácil, es menos tediosa que la ecuación de grado cuatro.

Tomando ya los valores de $a$ y $b$ que nos da el enunciado:

$$\dst 4(\cos \theta+ \frac{1}{3}) \sin \theta=(\sin \theta - \frac{1}{3}) \cos \theta$$

De momento, queda algo más bonito, ¿no? (Se puede resolver gráficamente: representamos las expresiones de cada miembro de la igualdad y vemos los puntos de corte entre y $2\pi$).

Y un comentario, para Al y Carmelo: muy acertado (y elegante) lo de buscar los puntos de la elipse con tangente perpendicular al vector que va de dicho punto a $P$).