Otras carreras Campo eléctrico producido por una distribución de cargas

[SuperJMN]

¡Hola amigos!

Estoy aquí dándole al coco con un problema que no es anda difícil, pero tengo la principal dificultad de no saber plantear la integral necesaria para resolverlo.



Sé que el vector campo eléctrico buscado solamente tendrá componente en x, pues todas las y se anulan por la simentría respecto al punto O.

Yo he supuesto que $d\theta =r d\ell$, y creo que $\lambda = \frac{dQ}{d\ell }$, ¿pero qué hago con los diferenciales? ¿Cómo juego con estas piezas para resolverlo?

Me interesa únicamente el apartado a) que es el que tiene más miga.

Muchas gracias por adelantado.

[Al2000]

Re: Campo eléctrico producido por una distribución de cargas

Tienes al revés la cosa, es $d \ell = r d \theta$. Toma un elemento de carga en una posición $\theta$ cualquiera (para los fines del dibujo, toma $\theta$ en el primer cuadrante) medida respecto del eje X. Tendrás un campo con componentes en la dirección negativa tanto de X como de Y: $dE_x = - dE \cos \theta ,\, dEy = - dE \, \mathrm {sen} \, \theta$, donde $dE$ es el campo de una carga puntual de valor $dq$, que es tu elemento de carga: $\dst dE = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {dq}{R^2}$. Poniendo que $dq = \lambda d \ell = \lambda R d \theta$ estás casi listo para hallar el campo. Lo único que te falta es determinar $\lambda$, que será la carga total entre la longitud del arco, puesto que te dicen que se distribuye uniformemente: $\dst \lambda = \frac Q {(2 \pi - \pi /3) R} = \frac {3 Q}{5 \pi R}$.

Pon ahora todo junto e integra desde $\pi /6$ hasta $11 \pi /6$. Obtendrás que la componente Y se anula (esto podrías decirlo anticipadamente por la simetría) y que el campo resultante apunta según X.

Para la pregunta b) es simple cuestión de determinar la posición en X de una carga puntual de valor Q que produzca en O un campo de igual magnitud y sentido opuesto. Es raro que el problema indique una sola respuesta, pues habrá dos soluciones posibles, una con una carga +Q a la derecha de O y otra con una carga -Q a la izquierda de O.

Para la pregunta c) de nuevo hay dos posibles respuestas y es sencillo calcularlas sumando los potenciales de la carga puntual y el de la distribución. Previamente habrá que calcular este último, pero el cálculo es extremadamente simple, debido a la naturaleza escalar del potencial y a que la distancia de todas las cargas de la distribución al origen es constante: $\dst V = \int dV = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0 R} \int dq = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q R$.

Saludos,

Al

[SuperJMN]

Re: Campo eléctrico producido por una distribución de cargas

Si para todas las cuestiones que planteo eres así de rápido y das unas explicaciones tan completas, me veré obligado a compensarte de alguna manera. Jesús de Nazareth nos enseñó a amar al prójimo como a uno mismo. ¿Cómo podría agradecerte? Si apruebo Física gracias a estas maravillosas ayudas, ¡habré de invitarte a mi boda! O hacerte algún regalo, ¡como poco!

P.D. voy a resolver el problema enseguida, ¡perdón por la confusión del diferencial! lo escribí mal Determinar lambda fue mi omisión más severa (no había caído en ello).
Un saludo cordial desde España.

[skinner]

Re: Campo eléctrico producido por una distribución de cargas

Aún así, suele responder más rápido jeje

Saludos!

[SuperJMN]

Re: Campo eléctrico producido por una distribución de cargas

¡Hola! Creo que estoy más atontado de la cuenta he planteado la integral. El campo eléctrico me sale:

$\dst E=\int_\frac{\pi }{6} ^\frac{11\pi}{6} \! \frac{k \lambda }{R} \, \mathrm{d}\theta$

Con lo que, sacando fuera de la integral lo que es constante, tenemos

$\dst E=\frac{k \lambda }{R} \int_\frac{\pi }{6} ^\frac{11\pi}{6} \! \, \mathrm{d}\theta$

La integral la resuelvo así:
$\dst \int \mathrm{d}\theta = \theta$

por lo que sigo con el problema de esta manera:

$\dst \frac{k\lambda}{R}\left [\theta \right ]_\frac{\pi}{6}^\frac{11\pi}{6}$

¡Pero ahora ya no sé seguir!

Lo siento, necesito ayuda de nuevo

[skinner]

Re: Campo eléctrico producido por una distribución de cargas

Suponiendo que esa integral tenga algún sentido físico para tu problema, que sepas que ya has hecho lo peor: plantearla y resolverla. Ahora sólo es sustituir los valores.

$$E=\dst \frac{k\lambda}{R}\left [\theta \right ]_\frac{\pi}{6}^\frac{11\pi}{6}=\frac{k\lambda}{R}\left( \frac{11\pi}{6}-\frac{\pi}{6} \right) =\frac{k\lambda}{R} \frac{10\pi}{6}$$

Creo que tu duda era cómo sustituir, ¿no?

Saludos!

[SuperJMN]

Re: Campo eléctrico producido por una distribución de cargas

Resulta que he planteado mal la integral

He visto un ejemplo en una web, mientras buscaba ayuda y al final he encontrado lo que hacía mal:

$\dst \vec{E}=\frac{K \lambda}{R}\int_a^b (-cos \theta \vec{i}-\sin\theta\vec{j}) \mathrm{d}\theta$

Desarrolándolo he llegado a:
$\dst \vec{E}=-\frac{K \lambda}{R}\ \left [ \sin \theta \vec{i}+\cos\theta\vec{j} \right ]_a^b$

Siendo $a=\frac{\pi}{6}$ y $b=\frac{11\pi}{6}$

Luego ya sustituyo y ¡funciona!