1r ciclo cual sería este residuo

[rupiopan]

me gustaría cacular el residuo de

senz/(z^2+z+1) dentro de la circunferencia de centro 0 y radio 4

el denominador tiene 2 polos en (-1+-isqrt(3))/2

como lo podría calcular?

gracias y saludos

[pod]

Re: cual sería este residuo

Usando la definición. Como son polos simples, cada residuo es simplemente

$$\lim_{z \to\frac12 (-1 \pm i \sqrt{3})} \left( z - \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2} \right) \cdot \frac{\sin z}{z^2+z+1}.$$

[rupiopan]

Re: cual sería este residuo

lo que pasa es que ese límite así de esa forma no soluciona nada porque me deja el denominador con un 0, esa experesión en el caso normal si que quitaría el polo del denominador pero en este caso no.

Entonces a partir de aquí es mi pregunta como calculo ese límite? por l'hopital??

Gracias y saludos!

[pod]

Re: cual sería este residuo

No, no te lo deja con un cero. Recuerda que son dos límites separados. En general, el polinomio de segundo grado es $(z-z_+)(z-z_-)$, por lo que tienes

$$\lim_{z\to z_+} (z-z_+) \frac{ \sin z }{ (z-z_-)(z-z_+)} = \lim_{z\to z_+} \frac{ \sin z }{ (z-z_-)} .$$

Y aquí no hay cero que valga. A no ser que $z_- = z_+$, en cuyo caso sería un polo doble, no uno simple, y habría que usar la definición general.

[rupiopan]

Re: cual sería este residuo

tienes toda la razon! como me lío! gracias por todo!!

[rupiopan]

Re: cual sería este residuo

y como pongo las raices en el senz?? porque es un numero complejo dentro del argumento

[pod]

Re: cual sería este residuo

No es "ilegal" que una función trigonométrica tenga un argumento complejo. Podemos separar la parte real y la imaginaria muy fácilmente, usando la fórmula de Euler:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Otra forma de hacerlo, bastante más corta, es usar la fórmula del seno de la suma.

$$\sin(x+iy) = \sin x \cos iy + \sin iy \cos x = \sin x \cosh y + i \sin y \cos x .$$