1r ciclo Velocidad angular en cinemática del sólido rígido

[kuvala]

Hola Buenas:

La duda que tengo creo que es más propia de cursos anteriores, pero lo cierto es que no sé como resolver el siguiente sistema de ecuaciones T_T

$2+6y+3z={v}_{x }0+{\omega }_{y }z-{\omega }_{ z}y$
$3-6x-2z={v}_{y }0+{\omega }_{z }x-{\omega }_{x }z$
$1-3x+2y={v}_{z }0+{\omega }_{x }y-{\omega }_{y }x$

El enunciado es el siguiente:
"Un campo de velocidades de un sistema de partículas tiene la expresión, en el SI:

$\vec{v}=(2+6y+3z)\hat{\imath}+(3-6x-2z)\hat{\jmath} +(1-3x+2y)\hat{k} <br />$

1. Pruebe que corresponde al movimiento de un sólido rígido.
2. Determine la velocidad angular y la velocidad de deslizamiento.

El sistema anterior se obtiene de aplicar la ecuación del campo de velocidades e igualar. Al final se tiene que obtener $\omega=2\hat{\imath} +3\hat{\jmath} -6\hat{k}$ y ${\vec{v} }_{0 }=2\hat{\imath} +3\hat{\jmath} +\hat{k}$. Entiendo que ${\vec{v} }_{0 }$ lo ha obtenido de poner x, y, z como cero, pero la velocidad angular no sé como la ha averiguado.

Muchas gracias.

Un Saludo

[polonio]

Re: Velocidad angular en cinemática del sólido rígido

Pues parece que no lo entiendes muy bien si crees que $\vec{v}_0\equiv\vec{v}^{min}$ (velocidad de mínimo deslizamiento o velocidad de deslizamiento) se obtiene de "poner" $x=y=z=0$

El campo de velocidades de un sólido rígido (la velocidad de un punto genérico del sólido) se puede escribir como:

$$\vec{v}_P=\vec{v}^{min}+\vec{\omega}\times\vec{IP}$$

donde $I$ es un punto del eje instantáneo de rotación y, entonces $\vec{IP}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$.

Por tanto, de la expresión que te dan, tomando componente a componente:

$$\vec{v}_P=\vec{v}^{min}+\vec{\omega}\times\vec{IP}$$

$$\begin{aligned}<br /> 2+6y+3z& = v_x^{min}+\omega_y z - \omega_z y \\<br /> 3-6x-2z& = v_y^{min}+\omega_z x - \omega_x z \\<br /> 1-3x+2y& = v_z^{min}+\omega_x y - \omega_y x <br /> \end{aligned}$$

Sólo tienes que identificar y tienes:

$$\vec{v}^{min}=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$$

$$\vec{\omega}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}$$

Por cierto, ¿cómo demostrarías que se trata de un sólido rígido?

[kuvala]

Re: Velocidad angular en cinemática del sólido rígido

Vale vale... ahora lo he entendido. Vamos, lo que yo decía, una tontería en sí misma. Por cierto, muchas gracias por la aclaración de que la velocidad de mínimo deslizamiento no se obtiene de igualar x, y, z a cero

Pues la demostración que he hecho para decir que se trata de un sólido rígido es la siguiente:
Para que sea un sólido rígido tiene que cumplir la condición cinemática de rigidez:

${\vec{v} }_{ P} \cdot \vec{QP}={\vec{v} }_{ Q} \cdot \vec{QP}$

Considerando lo siguiente:
$\vec{QP}={\vec{r} }_{P }-{\vec{r} }_{Q }$

$\vec{QP}=(\Delta x, \Delta y, \Delta z)$

${\vec{r} }_{Q }={x}_{1 }\hat{\imath} +{y}_{1 }\hat{\jmath} +{z}_{ 1}\hat{k}$

${\vec{r} }_{P}={x}_{2 }\hat{\imath} +{y}_{2 }\hat{\jmath} +{z}_{ 2}\hat{k}$

Ponemos la condición cinemática de rigidez de la siguiente forma:
$({\vec{v} }_{ P}-{\vec{v} }_{ Q})({\vec{r} }_{P }-{\vec{r} }_{Q })=0$

Si sustituimos el vector de posición P y el vector posición Q en la ecuación general de la velocidad que nos proporciona el enunciado, obtenemos la velocidad en el punto P y en el punto Q, que nos quedaría de la siguiente manera tras sustituir en la condición cinemática de rigidez anterior:

$((6\Delta y+3\Delta z)\hat{\imath} +(-6\Delta x-2\Delta z)\hat{\jmath} +(-3\Delta x+2\Delta y)\hat{k}) (\Delta x\hat{\imath} +\Delta y\hat{\jmath} +\Delta z\hat{k} )=0$

Desarrollando un poco vemos que efectivamente, toda la expresión es cero y por lo tanto, se cumple la condición cinemática de rigidez y corresponde a un sólido rígido.

Un Saludo

[polonio]

Re: Velocidad angular en cinemática del sólido rígido

Muy bien esa demostración unsando la condición cinemática de rigidez