1r ciclo Demostración de que unos determinados operadores son hermíticos.

[elfio]

Hola a todos, aquí os traigo un ejercicio que se me resiste por si me podéis echar una manilla.

El enunciado dice así:
"Demuestre que las componentes cartesianas del momento lineal son operadores hermíticos. Demuestre que la energía cinética también lo es. Demuestre que $d/dx$ no lo es."

Se que un operador hermítico es aquel que cumple A = A^† pero no se cómo demostrar lo que me pide el ejercicio.

¿Algún documento/web de referencia que me pueda iluminar?

[pod]

Re: Demostración de que unos determinados operadores son hermíticos.

Usa la propiedad

$$\left< \psi \right| A \left| \phi \right> = \left< \phi \right| A^\dag \left| \psi \right>^* .$$

La demostración se basa en poner, por ejemplo, $A = i \partial_x$ (que es proporcional a una componente del momento, sólo quitando la constante de Planck que aquí no juega papel importante), y desarrollar la integral

$$\left< \psi \right| A \left| \phi \right> = i \int \dd x\ \psi(x)^* \frac{\dd \phi(x)}{\dd x} .$$

A partir de ahí, se trata de integrar por partes.


La demostración de la energía cinética puedes hacerla de forma puramente algebráica, teniendo en cuenta que es (suma de) cuadrados de operadores hermíticos. Sólo tienes que demostrar que el cuadrado de un operador hermítico es hermítico.

[elfio]

Re: Demostración de que unos determinados operadores son hermíticos.

Muchas gracias Pod.

A ver si me las entiendo

Un saludo!

[polonio]

Re: Demostración de que unos determinados operadores son hermíticos.

Muchas gracias Pod.

A ver si me las entiendo

Un saludo!

Pues si te ha sido útil el mensaje, no te costará nada darle al botón de gracias

[elfio]

Re: Demostración de que unos determinados operadores son hermíticos.

Se de su existencia, pero he agradecido la atención cuando todavía no me he puesto con el ejercicio.

Cuando lo resuelva, vendré a pulsar el botón

Un saludo!

[elfio]

Re: Demostración de que unos determinados operadores son hermíticos.

¡Las demostraciones siempre me han costado la vida...!

Parto de lo que me dices:

$\left< \psi |A| \phi \right> = -i \hbar \int dx \psi^* (x) \frac{\mathrm{d} \phi (x) }{\mathrm{d}x } =$

Integro por partes y me queda

$= -i \hbar \left[ \psi ^*(x) \phi (x) - \int dx \phi (x) \frac{\mathrm{d} \psi ^* (x) }{\mathrm{d}x } \right]$

Por el otro lado hago lo mismo:

$\left< \phi |A ^\dag| \psi \right> ^* = \left( i \hbar \int dx \phi^* (x) \frac{\mathrm{d} \psi (x) }{\mathrm{d}x } \right) ^* =\left( i \hbar \left[ \phi ^*(x) \psi (x) - \int dx \psi (x) \frac{\mathrm{d} \phi ^* (x) }{\mathrm{d}x } \right] \right) ^*$

Había pensado en poner la integral en notación de Dirac, pero no tengo muy claro si se puede hacer siendo el complejo conjugado el que está a la derecha y además es sobre el que actúa el operador ($-i \hbar \frac{\partial }{\partial x}$).

¿Voy bien? ¿Alguna ayudita?

[elfio]

Re: Demostración de que unos determinados operadores son hermíticos.

Acabo de ver otra cosa, pero tampoco se si con eso ya acaba la demostración, si es útil o inútil o yo que se...

Si igualamos estas dos partes

$\left( i \hbar \int dx \phi^* (x) \frac{\mathrm{d} \psi (x) }{\mathrm{d}x } \right) ^* = -i \hbar \left[ \psi ^*(x) \phi (x) - \int dx \phi (x) \frac{\mathrm{d} \psi ^* (x) }{\mathrm{d}x } \right]$

Quitamos el asterisco de la primera (lo sustituimos por su complejo conjugado)

$-i \hbar \int dx \phi (x) \frac{\mathrm{d} \psi ^* (x) }{\mathrm{d}x } = -i \hbar \left[ \psi ^*(x) \phi (x) - \int dx \phi (x) \frac{\mathrm{d} \psi ^* (x) }{\mathrm{d}x } \right]$

y reorganizamos un poco, nos queda:

$\int dx \phi (x) \frac{\mathrm{d} \psi ^* (x) }{\mathrm{d}x } = \frac{1}{ 2} \psi ^*(x) \phi (x)$

[pod]

Re: Demostración de que unos determinados operadores son hermíticos.

¡Las demostraciones siempre me han costado la vida...!

Parto de lo que me dices:

$\left< \psi |A| \phi \right> = -i \hbar \int dx \psi^* (x) \frac{\mathrm{d} \phi (x) }{\mathrm{d}x } =$

Integro por partes y me queda

$= -i \hbar \left[ \psi ^*(x) \phi (x) - \int dx \phi (x) \frac{\mathrm{d} \psi ^* (x) }{\mathrm{d}x } \right]$

Por el otro lado hago lo mismo:

$\left< \phi |A ^\dag| \psi \right> ^* = \left( i \hbar \int dx \phi^* (x) \frac{\mathrm{d} \psi (x) }{\mathrm{d}x } \right) ^* =\left( i \hbar \left[ \phi ^*(x) \psi (x) - \int dx \psi (x) \frac{\mathrm{d} \phi ^* (x) }{\mathrm{d}x } \right] \right) ^*$

Había pensado en poner la integral en notación de Dirac, pero no tengo muy claro si se puede hacer siendo el complejo conjugado el que está a la derecha y además es sobre el que actúa el operador ($-i \hbar \frac{\partial }{\partial x}$).

¿Voy bien? ¿Alguna ayudita?

Recuerda que las integrales son definidas. Muchas veces no se pone explícitamente porque aquí "x" representar una variable sola, o un vector. En cualquier caso, como la función de onda debe ser de cuadrado integrable, por fuerza debe ser nula en la frontera. Por lo tanto, el primer término de la integral por partes siempre se anula. Por lo tanto,

$\left< \psi |A| \phi \right> = -i \hbar \int dx \psi^* (x) \frac{\mathrm{d} \phi (x) }{\mathrm{d}x } = i \hbar\int dx \phi (x) \frac{\mathrm{d} \psi ^* (x) }{\mathrm{d}x }$

Ahora verás inmediatamente que esto es exactamente lo mismo que te sale al hacer $\left< \phi |A| \psi \right>^*$.

$\int dx \phi (x) \frac{\mathrm{d} \psi ^* (x) }{\mathrm{d}x } = \frac{1}{ 2} \psi ^*(x) \phi (x)$

Esto no puede estar bien. Lo de la izquierda es una constante (x es una variable de integración, muda, desaparece al hacer la integral); mientras que lo de la derecha es una función de x. Una función no puede ser una constante (a no ser que sea una función constante, pero en ese caso la derivada daría cero).

[elfio]

Re: Demostración de que unos determinados operadores son hermíticos.

Recuerda que las integrales son definidas. Muchas veces no se pone explícitamente porque aquí "x" representar una variable sola, o un vector. En cualquier caso, como la función de onda debe ser de cuadrado integrable, por fuerza debe ser nula en la frontera. Por lo tanto, el primer término de la integral por partes siempre se anula. Por lo tanto,

$\left< \psi |A| \phi \right> = -i \hbar \int dx \psi^* (x) \frac{\mathrm{d} \phi (x) }{\mathrm{d}x } = i \hbar\int dx \phi (x) \frac{\mathrm{d} \psi ^* (x) }{\mathrm{d}x }$

Ahora verás inmediatamente que esto es exactamente lo mismo que te sale al hacer $\left< \phi |A| \psi \right>^*$.






Esto no puede estar bien. Lo de la izquierda es una constante (x es una variable de integración, muda, desaparece al hacer la integral); mientras que lo de la derecha es una función de x. Una función no puede ser una constante (a no ser que sea una función constante, pero en ese caso la derivada daría cero).

El razonamiento en negrita no lo entiendo.

Se que $\left< \phi _i| \phi _j \right> =\delta _{ij}$ pero en nuestro caso hay dos funciones de onda distintas. ¿Se trata de la misma forma?
Quiero decir, ¿también se cumple que

$\left< \phi _i| \psi _j \right> =\delta _{ij}$

?

[pod]

Re: Demostración de que unos determinados operadores son hermíticos.

El razonamiento en negrita no lo entiendo.

Se que $\left< \phi _i| \phi _j \right> =\delta _{ij}$ pero en nuestro caso hay dos funciones de onda distintas. ¿Se trata de la misma forma?
Quiero decir, ¿también se cumple que

$\left< \phi _i| \psi _j \right> =\delta _{ij}$

?

Más simple todavía.

Es algo que nisiquiera tiene que ver con física, es pura mates. Supongamos funciones de 1 variable,

$$\int_{-\infty}^\infty \dd x\ f(x) g'(x) = f(x) g(x) \Big|_{-\infty}^\infty - \int_{-\infty}^\infty \dd x\ f'(x) g(x) .$$

Como las integrales deben ser finitas (por definición del espacio de Hilbert $L^2$ y todo eso), entonces obligatoriamente

$$\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 0.$$

Así que el primer término de la integración por partes es cero automáticamente, siempre.

[elfio]

Re: Demostración de que unos determinados operadores son hermíticos.

¿Me puedes explicar el porqué del límite?
Me siento un poco tonto cuando no veo estas cosas...

[pod]

Re: Demostración de que unos determinados operadores son hermíticos.

¿Me puedes explicar el porqué del límite?
Me siento un poco tonto cuando no veo estas cosas...

Una función de onda debe cumplir

$$\int_{-\infty}^\infty \dd x\ |\psi(x)|^2 = 1 .$$

Esto es, ha de ser de cuadrado integrable. Es imposible que esa integral de un número finito si la función de onda no decae en infinito.

Recuerda que

$$\int_{-\infty}^\infty \dd x\ \frac1x = \ln x \Big|_{-\infty}^\infty \to\infty ,$$

así que (el cuadrado de) la función de onda debe decaer en el infinito al menos más rápido que 1/x.

[elfio]

Re: Demostración de que unos determinados operadores son hermíticos.

Mil gracias, Pod.