Otras carreras ¿Cómo demuestro que se cumple para componentes?

[chema_mad]

Hola amigos! aver si podeis ayudarme. Tengo que demostrar que la siguiente igualdad de vectores se cumple para componentes:

V x (W x Z) = W · (V · Z ) - Z · (V · W)


He realizado el producto vectorial de la izquierda quedándome:

[ Vy (Wx Zy - Zx Wy) - Vz (Zx Wz - Wx Zz)] i + [ Vz (Wy Zz - Zy Wz) - Vx (Wx Zy - Wy Zx)] j + [ Vx (Wz Zx - Wx Zz) - Vy (Wy Zz - Wz Zy)] k

Donde Vx, Vy, Vz = al vector V..., e i,j,k = a los vectores unitarios en cada uno de los ejes.

A continuación he realizado los productos escalares de la derecha:

W (Vx Zx + Vy Zy + Vz Zz) - Z ( Vx Wx + Vy Wy + Vz Wz)

donde W y Z son vectores.

De aquí ya no sé pasar porque no sé cómo realizar el producto escalar de ese vector por todo el paréntesis y poder llegar a una solución igual a la de la izquierda del paréntesis.

[chema_mad]

Re: ¿Cómo demuestro que se cumple para componentes?

nadie que pueda ayudarme?

[pod]

Re: ¿Cómo demuestro que se cumple para componentes?

Con este tipo de demostraciones hay un truco que suele funcionar. Uno siempre puede elegir los ejes de coordenadas como quiera, estas igualdades tienen que valer para cualquer elección de los mismos. Así que elejimos el eje OX de forma que sea paralelo al vector V. Por lo tanto, V = (v, 0, 0), solo tiene una componente. Fíjate que con esto no estamos perdiendo generalidad, simplemente estamos haciendo una elección particular que podemos hacer.

Luego, para el vector W ya no podemos elegir el eje OX, pero sí que podemos elegir el eje OY de forma que el vector esté contenido en el plano OXY (o lo que es lo mismo, elegimos el eje OZ tal que sea perpendicular a W). Por lo tanto, W = (wx, wy, 0) sólo tiene dos componentes. Ya hemos gastado toda la libertad que teniamos, al fijar dos ejes ya temenos fijo el tercero. Z tendrá las tres componentes.

Esto te simplificará mucho los cálculos. Y, como decíamos, no pierdes generalidad; una expresión tiene que valer en todas las elecciones de ejes.

Por cierto, consulta los consejos para introducir ecuaciones en los mensajes, queda bastante mejor