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Hilo: Aceleración del centro de masas de un sistema de partículas

  1. #1
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    Predeterminado Aceleración del centro de masas de un sistema de partículas

    Hola a todos
    En mi primer post en el foro me gustaría plantear una duda acerca de la aceleración del centro de masas de un sistema de partículas. En todas las fuentes que consulto aparece una fórmula para calcular dicha magnitud, y que es:

    a(CM)= sumatorio de (mi·ai) / masa del sistema
    (perdón por lo cutre de la fórmula)

    Esta fórmula, que se presenta como derivada de la velocidad del centro de masas o como la segunda derivada de la posición del centro de masas, no se si necesita de unas condiciones específicas para ser aplicada... y lo digo porque un profesor (catedrático de instituto y con mucha experiencia) me ha hecho hincapié en que la a(CM) solo puede expresarse a partir de la segunda ley de Newton, es decir:

    sumatorio Fext = M·a(CM)

    Dicho de otro modo, que la aceleración del centro de masas no se puede expresar como el sumatorio de las aceleraciones de cada partícula, solo a partir de la 2ª ley de Newton.

    ¿Qué sabeis al respecto?
    Gracias
    Última edición por Beda3x; 19/10/2011 a las 00:42:53.

  2. #2
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    Predeterminado Re: Aceleración del centro de masas de un sistema de partículas

    bueno, yo creo que estas un poco equivocado al pensar que la relacion \frac{\sum_{n = 0}^\infty {m}_{i }{a}_{i }}{M } es una simple "formula" que se "aplica" en tal o cual problema, yo coincido con tu profesor, la aceleracion del centro de masa siempre lo puedes sacar con la 2 ley de newton, es lo mas sencillo, pero si tenemos un sistema de particulas en el cual podemos enumerar y contar las particulas, esta ecuacion tambien se puede usar, es mas, esta ecuacion sale de la definicion de centro de masa. y si la utilizas, pues veras que llegas al mismo resultado que habiendo planteado las leyes de newton.

    aqui te dejo un problema bastante sencillo para que lo compruebes:
    supongamos que inicialmente tenemos dos particulas de masa 1kg en reposo, una en la posocion (0,0)m y la otra (0,2)m. la particula de abajo es acelerada por una fuerza de 1N hacia el lado izquierdo, la superior con la misma fuerza, pero para el lado contrario: calcular la aceleracion, velocidad y posicion del centro de masa en funcion del tiempo del sistema formado por las dos particulas.

    bueno, tenemos dos formas de "encarar" el problema: aplicando leyes de newton, o aplicando definiciones del CM.

    aplicando leyes de newton: sum F= M*Acm. claramente, es 0, pues las dos fuerzas son iguales y en sentido contrario.

    aplicando definiciones de CM: bueno, tendriamos que saber, antes que nada, la posicion del centro de masa en funcion del tiempo:

    Xcm=sum(mi * xi)/M , lo mismo para el Ycm.

    haciendo la cuenta, obtenemos: Xcm=0 Ycm=0,5m.
    ahora vemos la posicion de cada particula en funcion del tiempo: xi=1/2*ai*t^2 = 1/2*Fi/mi*t^2.

    para la de abajo Xi(t)= 0,5 t^2.
    para la de arriba Xi(t)= -0,5 t^2.

    ahora reemplazamos esto en la posicion del centro de masa, para tener el Xcm en funcion del tiempo: Xcm(t)=(1kg*0,5 t^2 +1kg* -0,5 t^2.)/2Kg = 0.es decir, posicion constante, velocidad 0, aceleracion 0.

    o usando la "formula" de Acm=(1kg*1m/s2 + 1Kg*(-1m/s2))/2Kg = 0.

    ahora te dejo a vos que intentes con distintos valores de masa y aceleraciones, y veras que las leyes de newton, ademas de ser mucho mas sencillas de calcular, te sirven para casos que esta definicion no.

    por ejemplo para cuerpos solidos, en donde no tienes forma de medir la aceleracion de cada una de las particulas (electrones, protones y neutrones) que lo componen, como el caso de un automovil.

  3. #3
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    Predeterminado Re: Aceleración del centro de masas de un sistema de partículas

    Gracias por la respuesta Artos, pero sigo con la duda. Es decir, mi problema es que me han explicado que la aCM se obtiene exclusivamente a partir de la 2ª Ley de Newton y no como sumatorio de las aceleraciones individuales.
    Intentaré resumir el argumento dado por mi profesor para explicar este hecho: la posición de un centro de masas es un sumatorio por definición (poco podemos discutir ese aspecto); la velocidad del centro de masas puede también expresarse como sumatorio solo porque dicha fórmula se obtiene a partir de los momentos lineales (mto lineal del sistema = mto lineal del centro de masas, ya que el mto lineal respecto al CM es nulo), pero la aceleración del centro de masas no encuentra justificación para expresarse como sumatorio y sí a partir de la 2ª ley de Newton (por el hecho de que las fuerzas totales = fuerzas externas, siendo nulas las fuerzas internas). La única posibilidad de usar aCM como sumatorio es el caso de partículas conectadas por una ligadura (un par de cuerpos unidos por una cuerda que pasa por una polea, por ejemplo)
    Este razonamiento no se si es rigurosamente cierto o tiene fisuras... algo me falla porque todos los libros consultados me dan la aCM como sumatorio...
    Ah! ya he probado resolver problemas usando las distintas alternativas y, como expones en tu problema, obtengo los mismos resultados con una fórmula y con otra... esto es lo que justamente me descoloca...
    Gracias

  4. #4
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    Predeterminado Re: Aceleración del centro de masas de un sistema de partículas

    Hola.

    Si partes de la definición del centro de masas, \vec R_{cm} = \sum m_i \vec r_i / M

    y derivas dos veces con respecto al tiempo, tienes \vec a_{cm} = \sum m_i \vec a_i / M.

    Esto es pura cinemática, y no veo ningún problema con esta definición.

  5. #5
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    Predeterminado Re: Aceleración del centro de masas de un sistema de partículas

    Cita Escrito por carroza Ver mensaje
    Hola.

    Si partes de la definición del centro de masas, \vec R_{cm} = \sum m_i \vec r_i / M

    y derivas dos veces con respecto al tiempo, tienes \vec a_{cm} = \sum m_i \vec a_i / M.

    Esto es pura cinemática, y no veo ningún problema con esta definición.
    Hola carroza
    Efectivamente, ese es el argumento esgrimido por muchos libros para llegar a la definición de la aCM como sumatorio y yo personalmente no veo tampoco ningún problema ahí (lo cual no quiere decir que no lo haya), pero repito, mi duda aparece por la insistencia de mi profesor de definir la aCM a partir de Newton y haciendo hincapié en la no conveniencia de definirla por el sumatorio de las aceleraciones de las partículas individuales...
    Insistiré en que me resuelva la duda y si llego a alguna conclusión la expondré aquí... aunque se siguen aceptando opiniones...

  6. #6
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    Predeterminado Re: Aceleración del centro de masas de un sistema de partículas

    como es eso que no hay argumentos para hacer
    \frac{\sum {m}_{i}{a}_{i}}{M}    ????????
    esa es la mismisima 2 ley de newton!!!!!!

    observe que: \sum {m}_{i}{a}_{i}=\sum {F}_{i}

    y luego,despejando de la 2° ley: \frac{\sum {F}_{i}}{M}= Acm

  7. #7
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    Predeterminado Re: Aceleración del centro de masas de un sistema de partículas

    Cita Escrito por Artos Ver mensaje
    como es eso que no hay argumentos para hacer
    \frac{\sum {m}_{i}{a}_{i}}{M} ????????
    esa es la mismisima 2 ley de newton!!!!!!

    observe que: \sum {m}_{i}{a}_{i}=\sum {F}_{i}

    y luego,despejando de la 2° ley: \frac{\sum {F}_{i}}{M}= Acm
    Hola de nuevo Artos.
    Bueno, creo que estoy liando el tema un poquito...
    Yo no discuto la validez de la fórmula ni su aplicabilildad, no tengo el nivel de física suficiente... Lo que me sorprende, repito, es que mi profesor (catedrático de instituto) nos ha hecho mucho hincapié en calcular la aCM a partir de la 2ª ley de Newton y no como sumatorio... ¿por qué? he ahí la DUDA. Como he dicho, le preguntaré de nuevo a ver si me arroja un poco de luz...

  8. #8
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    Predeterminado Re: Aceleración del centro de masas de un sistema de partículas

    bueno, no se si esto te sirva.

    resulta que

    \sum \vec{F_{todas}}=\sum \vec{F_{externas}}+\sum \vec{F_{internas}}=\sum \vec{F_{externas}}+0

    ya que las fuerzas internas, osea, las que se ejercen entre sí las partículas pertenecientes al sistema ,se cancelan con su reacción.

    de modo que puedes poner

    \vec{a_{cm}}=\dfrac{\sum \vec{F_{externas}}}{M}
    Última edición por javier m; 20/10/2011 a las 23:03:37.

  9. #9
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    Predeterminado Re: Aceleración del centro de masas de un sistema de partículas

    Cita Escrito por javier m Ver mensaje
    bueno, no se si esto te sirva.

    resulta que

    \sum \vec{F_{todas}}=\sum \vec{F_{externas}}+\sum \vec{F_{internas}}=\sum \vec{F_{externas}}+0

    ya que las fuerzas internas, osea, las que se ejercen entre sí las partículas pertenecientes al sistema ,se cancelan con su reacción.

    de modo que puedes poner

    \vec{a_{cm}}=\dfrac{\sum \vec{F_{externas}}}{M}
    Ninguna objeción por mi parte a esto que expones. Justamente este razonamiento o deducción permite establecer una forma de calcular la aCM a partir de la 2ª Ley de Newton. El tema del sumatorio de las aceleraciones individuales es el que estoy investigando...

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