1r ciclo Choque inelástico

[Cat_in_a_box]

¡Hola a todos!

Hace mucho tiempo que no escribo nada por aquí, he estado bastante líado, y ya es hora
Bueno, traigo un par de dudas respecto a un ejercicio. El enunciado de este es el siguiente:

Tenemos tres partículas idénticas de masa M que están unidas entre sí mediante tres varillas de masa totalmente despreciable y de longitud L. Las tres partículas están unidas de tal modo que forman un triángulo equilatero que inicialmente se halla en reposo. Por otro lado, una partícula de igual masa, M, se mueve con velocidad v. Ésta choca con la masa situada en (L/2,0), quedando unida a ella. Todas las partículas se mueven sobre una superficie horizontal sin rozamiento.

Bueno, lo que me piden es hallar la velocidad del CM después del choque, el momento de inercia del sistema de igual modo tras el choque y por último la velocidad angular con la que se mueve el sistema, después del choque, obviamente.

Lo que he hecho en primer lugar es fijar un sistema de referencia cuyo origen se encuentra en la mitad de la base del triángulo, de modo que el centro de masas inicial se encontraría en:

$$\vec x_{CM}=\dst\frac{\dst\sum_{i=1}^n x_i m_i}{\dst\sum_{i=1}^n m_i}\hat{\imath} =\dst\frac{M\cdot \dst\frac{L}{2}+M\left(-\dst\frac{L}{2}\right)}{3M}\hat{\imath} =0\hat{\imath} \mathrm{m}$$

En cuanto al eje y, la distancia entre mi origen y la partícula situada en el vértice del triángulo es justamente la altura de ese triángulo, por tanto:

$$\vec y_{CM}=\dst\frac{\dst\sum_{i=1}^n y_i m_i}{\dst\sum_{i=1}^n m_i}\hat{\jmath}=\dst\frac{M\cdot\dst\frac{\sqrt{3}}{2}L}{3M}\hat{\jmath} =\dst\frac{\sqrt{3}}{6}L\hat{\jmath} \mathrm{m}$$

De modo que antes de la colisión la posición del centro de masas es:

$$\boxed{\vec r_{CM}=\left(0,\dst\frac{\sqrt{3}L}{6}\right)}$$

Pues bien, ahora llega otra partícula de igual masa, M, que choca con la partícula situada en (L/2,0). Así pues, el sistema formado es aislado,por lo que la resultante de las fuerzas exteriores es cero. Por tanto se verifica simultáneamente el principio de conservación del momento lineal y del momento angular.

Para calcular la velocidad con la que se mueve el centro de masas después del choque, calculo en primer lugar dónde está el nuevo centro de masas, siendo éste:

$$\vec x_{CM}=\dst\frac{2M\dst\frac{L}{2}+M\left(-\dst\frac{L}{2}\right)}{4M}\hat{\imath} =\dst\frac{L}{8}\hat{\imath}$$

$$\vec y_{CM}=\dst\frac{M\dst\frac{\sqrt{3}}{2}L}{4M}\hat{\jmath} =\dst\frac{\sqrt{3}}{8}L\hat{\jmath}$$

De modo que:

$$\vec r'_{CM}=\left(\dst\frac{L}{8},\dst\frac{\sqrt{3}}{8}L\right)$$

Se observa que el centro de masas se ha desplazado más cerca del lugar en el que se encuentran las dos masas, lo cual parece razonable. Por tanto, para calcular la velocidad del centro de masas después del choque, aplico el principio de conservación del momento lineal, pues no actúan fuerzas externas:

$$M_T\vec r_{CM}=\dst\sum_{i=1}^n m_i \vec r_i \Rightarrow \vec v_{CM}=\dst\frac{P_{CM}}{M_T}$$

La partícula de masa M que colisiona se acerca con una velocidad v hacia la izquierda, luego la consideraré negativa, de modo que:

$$\vec p_0=\vec p_f\Rightarrow -M\vec v\hat{\imath} =M_T\vec v_{CM}\Rightarrow v_{CM}=\dst\frac{Mv}{M_T}=\dst\frac{Mv}{4M}\Rightarrow \boxed{\vec v_{CM}=-\dst\frac{v}{4}\hat{\imath}\mathrm{m/s} }$$

No sé si está bien aplicado el principio y los siguientes apartados serían calcular el momento de inercia con respecto al centro de masas después del choque y calcular la velocidad angular del sistema.

Para el momento de inercia, supongo que bastará con aplicar la definición propia:

$$I_{CM}=\dst\sum_{i=i}^n m_ir^2_i$$

Es decir, con el nuevo centro de masas que calculé anteriormente, puedo hallar el momento de inercia del sistema tras el choque, pues conozco las distancias a las que se encuentra cada partícula respecto al CM nuevo.

Para el último apartado, ¿tendría que aplicar la conservación del momento angular? Es que no estoy seguro, ya que antes del choque la velocidad angular del sistema es cero...

¿Podrían dar un poco de luz al asunto?

Gracias!

Saludos,

[arreldepi]

Re: Choque inelástico

Para el último apartado, ¿tendría que aplicar la conservación del momento angular? Es que no estoy seguro, ya que antes del choque la velocidad angular del sistema es cero...

Hola, no me lo he mirado todo, pero recuerda que la definición de momento angular es:

$$\vec L = \vec r \times (m\vec v)$$

Cuando hay rotación, se puede reescribir como:

$$\vec L = \vec r\times(m\vec\omega\times \vec r) + I_0\vec\omega$$

En el caso de tu problema (1) sería la expresión del momento angular antes del choque, y (2) la de después.

Si no me equivoco, por como has escogido el origen, el momento angular antes del choque es 0, así que tan sólo tienes que igualar (2) a 0 y despejar $\vec \omega$.


Saludos!

[Cat_in_a_box]

Re: Choque inelástico

En primer lugar, muchas gracias arreldepi

Sí, según el origen que he tomado el momento angular antes del choque sería cero. Con la segunda, ¿te refieres a que el momento angular después del choque lo puedo escribir como la suma del momento angular debido al movimiento de rotación alrededor de une eje que pasa por el centro de masas y del momento angular del sistema referido al centro de masas? Es decir, ¿a la suma de momento angular orbital y momento angular de espín?

En tal caso, tendría que calcular el momento de inercia del sistema respecto al CM después del choque, que es justamente lo que me piden en el apartado anterior, así como el momento angular interno, que sería el del resto del sistema referido al CM. ¿Sería así? Ahora bien, ¿cómo podría calcular el momento angular del sistema referido al centro de masas?

Dejo aquí un esquemita en el que se ve cómo se produce el choque y el sistema de referencia que he escogido:




Muchas gracias.

[arivasm]

Re: Choque inelástico

Hola, cat_in_a_box. Una de las razones por las que no me quedó claro tu ejercicio es que no especificabas en qué dirección se producía el choque de la cuarta masa. ¿Es necesariamente la del dibujo de tu post anterior o debe valorarse que es arbitraria?. En segundo lugar, yo aplicaría la conservación del momento angular, pero considerando que el sistema está formado por las cuatro masas, es decir, en el inicial incluiría el movimiento de la cuarta masa.

[Cat_in_a_box]

Re: Choque inelástico

Hola,

Sí, la cuarta masa choca en esa dirección, se mueve en el eje X y choca con la partícula situada en (L/2,0) quedándose unida a esta misma. ¿Y cuál sería el momento angular inicial incluyendo la cuarta masa? De todas formas, si para el problema alguien se encuentra más cómodo poniendo el origen de su sistema de referencia en otro sitio que lo haga

[arreldepi]

Re: Choque inelástico

Hola, el momento angular lo tienes que calcular respecto el mismo punto que en a) y b), así que si calculas el momento de inercia en el CM tendrás que usar el teorema de Steiner para saber cómo es respecto al punto que tú consideras como origen (que es donde hemos calculado el primer momento angular). O si lo haces todo respecto el CM el momento angular inicial será diferente de cero (tienes que mirar qué angulo forman r y v).

El momento angular se puede escribir como r x p o como I·w, en la segunda ecuación que he puesto antes es r x p para la masa que choca y Iw para el sistema de 3 masas (así no tienes que calcular el momento de inercia de nuevo).

Saludos!

[Cat_in_a_box]

Re: Choque inelástico

Hola,

El momento angular se puede escribir como r x p o como I·w, en la segunda ecuación que he puesto antes es r x p para la masa que choca y Iw para el sistema de 3 masas (así no tienes que calcular el momento de inercia de nuevo).

De acuerdo, ya he resuelto todo el ejercicio menos el último apartado, el de la velocidad angular. Lo que he hecho al final es calcular el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de masas después del choque, de hecho, es un apartado del problema.

Por tanto, para utilizar la conservación del momento angular debo fijar un origen con respecto al cual calcularé los momentos angulares antes y después del choque. Ese punto es el origen que he tomado en todos los apartados. Por tanto, respecto a este punto el momento angular inicial es nulo, eso está claro. El problema viene al calcular el momento de angular después del choque. Cuando pones:

$$\vec L = \vec r\times(m\vec\omega\times \vec r) + I_0\vec\omega$$

¿Con $I_0$ a qué momento de inercia te refiere? Lo que he hecho es lo que me has dicho en tu anterior post, como me pedían el momento de inercia respecto al CM, he utilizado el teorema de los ejes paralelos para calcular el momento de inercia respecto a mi punto O. Así, en principio, podría calcular ya el momento angular después del choque con respecto a ese punto. Ahora bien, ¿cuál es el momento de inercia de la partícula que colisiona? Sé que sería $\vec L=\vec r \times \vec p$ pero, ¿cuál es el vector $\vec r$?. No he entendido lo de no tener que calcular el momento de inercia de nuevo.

Creo que con esto ya daría por terminado el problema, pero me falta esa última parte que no estoy muy seguro. Y sí, hoy ando más que espeso

Saludos y gracias,

[draykaler]

Re: Choque inelástico

He intentado resolver el ejercicio, ya que estoy dando lo mismo y me ha parecido interesante. Pero no estoy seguro de tenerlo bien. ¿Podrían poner los resultados finales, así como un poco del proceso por el cual se obtienen el momento de incercia y la velocidad angular?
Gracias

[draykaler]

Re: Choque inelástico

Cat_in_a_box si no me equivoco la velocidad angular del sistema sería 0.
Lo que he hecho a sido imaginar el triángulo apoyado sobre una superficie plana. En tal caso para que el tríangulo rotase la masa que colisiona debería chocar (como mínimo) por el costado del triángulo. También podría girar si viniese con una velocidad con sentido j (abajo-arriba).
Por lo tanto al chocar con v= v/4 i+ 0 j solo se desplazará horizontalmente.
Si aplicamos L=Iw=0 nos toparíamos con que la w ha de ser 0 para que se conserve el momento angular.

[arreldepi]

Re: Choque inelástico

Hola!
Ya lo tienes casi todo.$I_0$ es el momento de inercia respecto el origen, que es respecto donde habías calculado el momento angular en los primeros apartados, así que ya lo tienes bien habiendo aplicado Steiner. El vector r, tal y como has escogido el origen, es la distancia entre el origen de coordenadas y la posición de la partícula que choca justo despúes de chocar (según tu dibujo L/2). A lo que me refería con no tener que calcular de nuevo el momento de inercia es que L después del choque lo puedes calcular de dos maneras:
1. L = I'w, donde I' es el momento de inercia de el sistema final respecto al origen.
2. L = r x (mw x r) + Iw, donde I es el momento de inercia del sistema con las 3 masas respecto al origen que has calculado con Steiner.

Si usas 2. no tienes que calcular el momento de inercia final.

Saludos!!