2o ciclo Variación del tiempo con la gravedad

[antdeljim]

La teoría de la relatividad general predice que el tiempo propio medido por un observador A en reposo sobre la superficie de un planeta es menor que el tiempo propio medido por otro observador B en reposo respecto al primero pero situado a mayor altura. Así, para un planeta con simetría esférica, masa M y radio R la relación entre los tiempos propios medidos por los observadores A y B son:

Me gustaría que me dijeran cómo se obtiene esta fórmula. Gracias.

[Xoc]

Re: Variación del tiempo con la gravedad

Buenas antdeljim,

En relatividad general, si te fijas en la solución de Schwarzschild. A partir de la métrica, el elemento de longitud en la proximidad de un cuerpo masivo con simetría esférica, es:

$ds^2 = \bigg[1 - \frac{2GM}{rc^2}\bigg]c^2dt^2 - \bigg[1 - \frac{2GM}{rc^2}\bigg]^{-1}dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$

El tiempo propio de un evento, es aquél tiempo, $\tau$, medido en cierto sistema de referencia en donde la parte espacial del evento es nula. A partir de aquí,

$c^2d\tau^2 = \bigg[1 - \frac{2GM}{rc^2}\bigg]c^2dt^2 \rightarrow d\tau = \sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}}dt$

Entonces, considerando dos eventos "a" y "b", separados por una longitud h:

$c^2d\tau_a^2 = \bigg[1 - \frac{2GM}{Rc^2}\bigg]c^2dt_a^2 \rightarrow d\tau_a = \sqrt{1 - \frac{2GM}{Rc^2}}dt_a$

$c^2d\tau_b^2 = \bigg[1 - \frac{2GM}{(R+h)c^2}\bigg]c^2dt_b^2 \rightarrow d\tau_b = \sqrt{1 - \frac{2GM}{(R+h)c^2}}dt_b$

Dividiendo las dos últimas expresiones, se llega a tu fórmula:

$\frac{d\tau_b}{d\tau_a} = \sqrt{\frac{1 - \frac{2GM}{(R+h)c^2}}{1 - \frac{2GM}{Rc^2}}}\frac{dt_b}{dt_a}$

Espero que te haya ayudado. Saludos y feliz año!

PD: como se hace para que el tamaño de lo que se escribe en latex sea mayor? Gracias.

[antdeljim]

Re: Variación del tiempo con la gravedad

Muchas gracias por tu respuesta. Lo que sería genial es que fueras tan amable de decirme cómo obtener, en la solución de Schwarzschild, la métrica del elemento de longitud en la proximidad de un cuerpo masivo con simetría esférica, ds^2.

Muchas gracias.

[Xoc]

Re: Variación del tiempo con la gravedad

La verdad es que su derivación no es trivial. Aquí lo tienes hecho explícitamente y muy bien explicado: http://teoria-de-la-relatividad.blog...zschild-i.html

Espero que sirva!