1r ciclo Duda de movimiento oscilatorio

[kuvala]

Hola Buenas :

Mi duda es la siguiente, ¿es lo mismo expresar la velocidad y la posición que describe un muelle colgado y extendido de la posición de equilibrio, que a la forma típica del MAS?

Voy a intentar explicar lo que quiero decir apoyándome en un ejercicio.

Un cuerpo material puntual de masa m pende de un muelle o resorte de longitud natural ${l}_{ 0}$, constante recuperadora K y masa despreciable. El sistema está sometido a la acción de la gravedad, $\vec{g}=g\vec{k}$ y se encuentra en equilibrio estático. Desde dicha posición, se desplaza la masa hasta que la elongación del muelle aumenta una distancia L en la dirección de la vertical gravitatoria. Estando en reposo en esta nueva posición, se suelta la masa.
- Averiguar la ley horaria de la masa (posición como función del tiempo)

Yo lo he planteado así:

$\vec{F}=m\vec{a}$

${l}_{1 }=L+{l}_{equ }$

${l}_{equ }={l}_{0 }+\frac{mg}{K }$

$\vec{{F}_{k } }=-K({l}_{1 }-{l}_{ 0}\hat{k})$

$\vec{P}=mg\hat{k}$

$\vec{{F}_{k } }+\vec{P}=m\vec{a}$

$-K({l}_{1 }-{l}_{ 0})+mg=ma$

$m\frac{d\vec{v} }{dt }= -K({l}_{1 }-{l}_{ 0})+mg\dst$

$\int d\vec{v}=\int -K({l}_{1 }-{l}_{ 0})+mg dt$

$\vec{v}(t)=(-Kt({l}_{1 }-{l}_{0 })+mgt)\hat{k}$

La posición se obtendría integrando de nuevo en lo anterior.

Sin embargo, la solución discrepa bastante de esta puesto que es la que se obtiene generalmente para los movimientos armónicos simples, es decir, que aparece

$cos(\omega t)$ siendo $\omega =\sqrt{\frac{K}{m } }$

Supongo que lo que yo he hecho no está bien. ¿Por qué?

Muchas gracias

Un Saludo

[arivasm]

Re: Duda de movimiento oscilatorio

${l}_{1 }=L+{l}_{equ }$
$m\frac{d\vec{v} }{dt }= -K({l}_{1 }-{l}_{ 0})+mg\dst$
$\int d\vec{v}=\int -K({l}_{1 }-{l}_{ 0})+mg dt$
$\vec{v}(t)=(-Kt({l}_{1 }-{l}_{0 })+mgt)\hat{k}$

En la última expresión que he destacado olvidaste que $l_1$ no es una constante, sino una función del tiempo.

[Al2000]

Re: Duda de movimiento oscilatorio

Yo diría mas bien que el amigo kuvala comete el error común de tratar la cantidad constante $l_1 = L - l_{equ}$ como si fuese la posición (variable en el tiempo) de la partícula. En este y muchos otros problemas similares, es necesario introducir una variable que identifique la posición de la partícula y formular las ecuaciones en función de esta variable. El valor constante $l_1$ sería el valor inicial ($t=0$) de dicha variable (o contribuiría con el valor inicial).

Un caso similar fue discutido recientemente en el hilo Solución de ecuación del movimiento (y probablemente haya sido tratado muchas otras veces antes).

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: Duda de movimiento oscilatorio

Yo interpreté que cuando decía al principio de su post que "la elongación del muelle aumenta una distancia L en la dirección de la vertical", que la L la estaba identificando con algo que después variará en el tiempo, y de ahí mi respuesta (y por eso le destacaba la relación que puso entre $l_1$ y L).

[kuvala]

Re: Duda de movimiento oscilatorio

Muchas gracias a los dos. Ha sido un fallo muy tonto solo por "no fijarme bien" y estar obsesionado con lo mismo jeje

Un Saludo!