1r ciclo Ecuaciones diferenciales.

[Tellus]

Ayuda por favor, tengo un examen este el próximo viernes de ecuaciones y tengo que entregar un trabajo ese día.
El problema es que no se de ecuaciones diferenciales, no pensaba presentarme, pero me ha llegado una noticia y es mejor que lo haga.
El problema es que no me da tiempo a aprender a hacerlo y estudiar el examen a la vez.
Por eso si me explicáis como hacer el trabajo os lo agradecería enormemente.
Adjunto el archivo con el enunciado. No pido que me lo resolváis...solo que me digáis como hacerlo.
Muchas gracias.

[Umbopa]

Re: Ecuaciones diferenciales.

Mira , te digo como hacerlo . Esto es un problema de valores propios . Sólo tienes que coger la matriz A , y calcular los valores propios y sus vectores . Si no sabes que es eso , los valores propios son los que cumplen Det(A-Ir)=0 donde I es la matriz identidad y r el valor propio . De esa ecuación salen tres valores propios . Para calcular los vectores propios , resuelves (A-Ir1)v1=0 y (A-Ir2)v2=0 (A-Ir2)v3=0
Donde v1 es el vector propio de el valor propio r1 .
La solución homogénea una vez encontrado los tres vectores y valores propios es. x= C1 v1 e^r1t + C2 v2 e^r2t + C3 v3 e^r3t .....
Ahora queda por determinar la solución particular .
Esta se calcula así . xp= integral ( ds G(t,s) b(s) ) desde t0 -> t

G(t,s) es el propagador : G(t,s)= P(t) P(s)^-1 y P(t) es la matriz que tiene como columnas v1*e^r1t , v2 e^r2t , v3 e^r3t . P(s)^-1 es la inversa de P(s). Finalmente

x= C1 v1 e^r1t + C2 v2 e^r2t + C3 v3 e^r3t + integral ( ds G(t,s) b(s) ) desde t0 -> t

El problema de este ejercicio es que hay un valor propio de multiplicidad 2 con un solo vector propio . Por lo tanto la solución de valor propio doble es :
x3= ( a+bt ) e^r2 t donde a y b son vectores a determinar. Por lo tanto queda :

x= C1 v1 e^r1t + C2 v2 e^r2t + C3(a+bt ) e^r2 t + integral ( ds G(t,s) b(s) ) desde t0 -> t

Y la matriz P será lo vectores v1 e^r1t , v2 e^r2t , (a+bt ) e^r2 t en columna.

Si no me equivoco salen r1=2 , r2=0 , v2= (1,0,1) , v1=(-1,1 ,-2) , a=(-1 ,0 ,0) , b=(1,0,1)

[Tellus]

Re: Ecuaciones diferenciales.

Muchas gracias, no me acordaba de lo de la forma de Jordan.

He calculado la diagonalización y me da x^2(x-2) es decir valor propio 2 con v.p (-1,1,-2) y 0 con vector propio (1,0,1) y forma de jordan {(0,0,0)(1,0,0)(0,0,2)}
Supongo que es a eso a lo que te referías.

Lo que no entiendo es lo que tengo que hacer ahora.

[Umbopa]

Re: Ecuaciones diferenciales.

Bien ahora si te fijas hay una raíz doble que es r=0 no? y solo tienes un vector propio... Pues bien.
La teoría general dice que la solución del sistema homogéneo es : x= c1 * v1 *e^r1 t + c2 *v2 *e^r2t + c3 v3 e^r3t
Pero como el valor propio r2=0 es doble y no tiene dos vectores propios , sólo uno (1,0,1). Solo tenemos :
x= c1 * v1 *e^r1*t + c2 *v2 *e^r2*t y nos falta otra solución que correspondria al tercer vector propio.
Pues para encontrar la tercera solución hay que probar una solución del tipo
x3=(a+v2 t)*e^r2t , en este caso r2=0 v2=(1,0,1) ----> x3= a+(1,0,1)t ---> x3'=(1,0,1)
Sabemos que x'=Ax -----> (1,0,1)= A (a+(1,0,1)t) = Aa + A(1,0,1)t ---> (1,0,1)=Aa ; A(1,0,1)t=0

(1,0,1)=A*a y de aquí sacamos a.

Una vez sacado esto ya has resuelto el problema homogéneo. Te queda el problema no homogéneo , que es cuando has de calcular el propagador G(t,s)

[Tellus]

Re: Ecuaciones diferenciales.

OK, muchas gracias, creo que ahora lo voy a poder hacer sin problema. Si tengo alguna duda más comento .