2o ciclo Ec. de Klein-Gordon en espacio-tiempo general

[Xoc]

Buenas tardes,

Estoy haciendo un trabajo para entregar en la asignatura de cuántica. El trabajo va sobre la ecuación de Klein-Gordon y me queda el último apartado, en el quería introducir la ec. de Klein-Gordon en un espacio-tiempo general.
La he llegado a presentar escrita pero sinceramente, no tengo ni idea de que interés tiene para los físicos estudiar esa ecuación en un espacio-tiempo de Schzwarschild, de Kerr, etc. (he buscado en arxiv.org y ahí la resuelven con esas métricas).
Tampoco entiendo el significado físico del campo de Klein-Gordon. Si alguien me pudiera dar una breve explicación o alguna referencia, me haría un gran favor.

Muchas gracias de antemano.

Xoc

[pod]

Re: Ec. de Klein-Gordon en espacio-tiempo general

Quizá lo más sencillo sea afrontar tus preguntas en orden contrario al que las presentas.

En teoría cuántica de campos, los campos son todo lo que existe. Así de simple. De ahí el nombre.

En esencia, matemáticamente son los mismos campos que llevamos utilizando toda la vida. Funciones que toman valores diferentes en distintos puntos del espacio. En matemáticas de primero tenemos campos escalares (una componente) o vectoriales (más de una componente). En QFT, además podemos tener campos espinoriales, que vienen a ser lo mismo que los vectores pero sus componentes son anticonmutativas (es decir, a b = - b a).

De hecho, lo que he dicho hasta ahora no tienen nada de cuántico, es teoría clásica de campos. Para cuantizar, hay un proceso canónico que consiste en tomar estas funciones y convertirlas en operadores (ojo, hay líneas de investigación que buscan formas alternativas a la cuantización canónica, algunas con resultados más que prometedores).

Si tienes algo de base en mecánica cuántica "normal", verás que ella se basa en aplicar este proceso de cuantización canónica a los observables de la teoría, que pasan a ser operadores hermíticos. La QFT, además, aplica dicho procedimiento a la función de onda en si. Por eso se suele decir que la QFT está en segunda cuantización.

¿Cuál es el significado físico de todo esto? Resulta que si el valor de un campo varía en un punto, entonces esa variación se propaga al resto del espacio, igual que una onda. Pues bien, resulta que bajo algunas suposiciones (por ejemplo, que el espacio-tiempo sea plano), es posible interpretar esa variación como el movimiento de una partícula.

¿De donde sale esta interpretación? Bueno es largo de explicar, y tampoco soy el más adecuado para hacerlo. Básicamente, como el campo ahora es un operador, tiene que operar sobre algo. Y ese algo siempre es un estado; un operador convierte un estado en otro. Por ejemplo, lo más cómodo siempre es empezar con el estado "vacío" (el estado fundamental, sin partículas ni nada). Si aplicamos el operador campo sobre el estado vacío obtenemos otro estado, que ya no es el vacío. Si uno sigue los detalles matemáticos de todo esto, se encuentra con que el nuevo estado se puede interpretar como una especie de transformada de Fourier que transforma la posición en momento.

En mecánica cuántica "normal", una transformada de Fourier de este tipo representa una partícula que se encuentra en una posición concreta (y, por el principio de incertidumbre, su momento está completamente indeterminado; de ahí la transformada de Fourier).

Fíjate que hemos visto que la propagación de una perturbación (es decir, una onda) se puede interpretar como una partícula. Aquí tenemos la dualidad onda-corpúsculo en su máxima expresión. Es más, se suele considerar que la QFT demuestra el porqué de esta dualidad, es una descripción unificada que contiene ambos comportamientos sin contradicción ninguna.

En resumen, las partículas no son algo "diferente" en la teoría. La entidad principal es el campo, no la partícula. Las segundas simplemente son una manifestación de la forma de propagarse las variaciones de los primeros.

Todo esto es general a todos los campos. Luego, dependiendo del spin que tenga el campo en cuestión (normalmente hablamos del spin de una partícula; pero como ya sabemos están relacionados). En el caso de las partículas de spin 0, resulta que el campo es escalar (sólo una componente) y la ecuación de ondas que gobierna la variación de los valores del campo es la de Klein-Gordon.

Sobre el interés de utilizar espacios tiempo diferentes,... La verdad es que la teoría cuántica de campos en espacios curvos no es un tema completamente solucionado. En primer lugar, todo los teje manejes que se hacen para hacer la interpretación de partículas no está garantizado que funcionen si el espacio-tiempo es curvo.

En este sentido, por ser un problema abierto, estudiar el comportamiento de la QFT en espacio curvo es algo importante.

El interés de usar espacios curvados es incluir la gravedad, donde la materia afecta al a curvatura, y la curvatura afecta a la materia. Sin embargo, la QFT por el momento no es capaz de funcionar así, tu puedes poner el espacio-tiempo pero es algo fijo, no dinámico como requiere la gravedad.

[Xoc]

Re: Ec. de Klein-Gordon en espacio-tiempo general

Muchas gracias por tu respuesta y tiempo, Pod!