1r ciclo ¿Fotón se desintegra en electrón y positrón?

[Uranio]

Hola, tengo un pequeño problema:

[FONT=Dcr10][FONT=Dcr10]Probar las siguientes a[/FONT][/FONT][FONT=Dcr10][FONT=Dcr10]fi[/FONT][/FONT][FONT=Dcr10][FONT=Dcr10]rmaciones:[/FONT][/FONT]
[FONT=Dcr10][FONT=Dcr10]- un fotón no puede desintegrarse en un electrón y un positrón (ambos de masa $m$[/FONT][/FONT][FONT=Cmr10][FONT=Cmr10])[/FONT][/FONT]

El problema es que como resultado obtengo que sí puede desintegrarse. Lo que he hecho es lo siguiente:

- Por conservación del momento:
$p_\gamma=p_++p_-=2p_-$ (se ha tenido en cuenta que la masas del electrón y positrón son iguales).

- Por conservación de la energía:

$E_i=\sqrt {m_\gamma^2c^4+c^2p_\gamma^2}=cp_\gamma$

$E_f=E_++E_-=cp_++cp_-=2cp_-$

En la última expresión se ha utilizado la relación: $v=c=\frac{c^2p_-}{E}$
Por tanto:

$E_i=cp_\gamma=2cp_-=E_f$

Por lo que he hecho no se viola el principio de conservación de energía-momento y se puede realizar la desintegración. El profesor nos dijo que justamente por este principio no se podía realizar la desintegración. ¿Qué estoy haciendo mal?

Gracias

[neometalero]

Re: ¿Fotón se desintegra en electrón y positrón?

En la expresion de la energia que indicas para el el ectron y positron, porque simplificas y dices que es cp?? Eso es en el caso en que simplificas la raiz debido a que la masa en reposo sea nula, cosa que vale para el foton pero no para las otras dos particulas.

[pod]

Re: ¿Fotón se desintegra en electrón y positrón?

Además, los momentos del positrón y electrón no tienen porqué ser el mismo. Aunque tengan la misma masa, su velocidad puede ser diferente.

La forma más sencilla de hacer este problema es hacer un cambio de sistema de referencia. Si un proceso es imposible en un SRI, será imposible en todos los SRI. Por ejemplo, nos ponemos en el sistema de referencia en que el positrión acaba en reposo. El fotón viajará a la velocidad de la luz (no puede ser de otra forma) con momento p; y por conservación del momento, el electrón deberá salir con el mismo momento (p = 0 + p).

La conservación de la energía nos dice que la energía inicial del fotón (cp) será igual a la suma de la energía del positrón ($m c^2$, ya que está parado) y del electrón (que, como deberíamos saber, será $\sqrt{m^2 c^4 + c^2 p^2}$).

$$c p = m c^2 + \sqrt{m^2 c^4 + c^2 p^2} .$$

Ahora, sólo te queda demostrar que esta ecuación no tiene soluciones con significado físico. Para hacerlo, te sugiero que pases el término $mc^2$ al otro lado y eleves al cuadrado para deshacerte de la raíz.

[arivasm]

Re: ¿Fotón se desintegra en electrón y positrón?

Yo lo entendí bien (eso espero!) al pensar en que si fuese posible que un fotón decayese en un electrón y un positrón, al considerar el sistema de referencia centrado en el cdm de las dos partículas resultantes la conservación del momento obligaría a que el fotón estuviese en reposo, y entonces no habría fotón (o si se prefiere, no habría manera de que se conservase la energía).

[Uranio]

Re: ¿Fotón se desintegra en electrón y positrón?

En la expresion de la energia que indicas para el el ectron y positron, porque simplificas y dices que es cp?? Eso es en el caso en que simplificas la raiz debido a que la masa en reposo sea nula, cosa que vale para el foton pero no para las otras dos particulas

Efectivamente, estaba considerando que los electrones viajaban a velocidad c, por tanto que su masa era nula, cosa errónea, me había liado yo solo. Gracias.

Además, los momentos del positrón y electrón no tienen porqué ser el mismo. Aunque tengan la misma masa, su velocidad puede ser diferente.

pod tal vez me falla la intución pero me dice que las velocidades con las que saldrá cada partícula es la misma. Supongo que tengo en mente el pensamiento de choque elástico y estoy suponiendo que se conserva la energía cinética en la desintegración, pero si me dices que no tienen porque ser la misma me lo creo (supongo que se habrá realizado experimentalmente). Si lo hacemos suponiendo $p_+$ y $p_-$ son iguales queda la expresión final:

$0=m^2c^2$ Cosa que no puede ser (siendo $m$ distinta de 0).

Voy a terminar de resolverlo como tu propuesta, muchas gracias

EDITO:
Tras resolverlo como comentaba pod llego a que para se cumpla el principio de conservación del momento-energía la cantidad de movimiento del fotón debe ser nula, cosa que no puede ser. Gracias

[pod]

Re: ¿Fotón se desintegra en electrón y positrón?

Yo lo entendí bien (eso espero!) al pensar en que si fuese posible que un fotón decayese en un electrón y un positrón, al considerar el sistema de referencia centrado en el cdm de las dos partículas resultantes la conservación del momento obligaría a que el fotón estuviese en reposo, y entonces no habría fotón (o si se prefiere, no habría manera de que se conservase la energía).

Esto es completamente correcto y sumamente elegante.

pod tal vez me falla la intución pero me dice que las velocidades con las que saldrá cada partícula es la misma. Supongo que tengo en mente el pensamiento de choque elástico y estoy suponiendo que se conserva la energía cinética en la desintegración, pero si me dices que no tienen porque ser la misma me lo creo (supongo que se habrá realizado experimentalmente).

No se ha realizado porque es un proceso imposible (cosa que estamos demostrando).

Sí que es posible un proceso en que lo que se desintegra es una partícula con masa. En estos casos, los momentos de las partículas salientes no tiene porqué ser el mismo. Si tú impones que las velocidades son iguales y terminas el problema con esa asunción, entonces estarás demostrando que el decaimiento no es posible a partículas que tengan la misma velocidad. En este caso, lo mejor es dejar las velocidades (o momentos) como variables diferentes, y que el propio cálculo te diga si tienen que ser iguales o no. De esta forma, no pierdes generalidad.

Sin embargo, hay otras simplificaciones que sí se pueden hacer sin perder generalidad en el problema. La más habitual es aprovecharse que puedes elegir el sistema de referencia que quieras. Hay dos opciones "sencillas", o bien suponer que una partícula está en reposo (lo que simplifica mucho los cálculos, como has visto tu mismo); o bien situarse en el centro de masas (lo que lleva al razonamiento de arivasm).

[clairaut]

Re: ¿Fotón se desintegra en electrón y positrón?

La desintegracion de un solo fotón en un par positron-electrón es inviable porque siempre existe un sistema de referencia en el que el momento del par electrón positron se puede anular, lo que no es posible para un fotón. El proceso que si se puede dar es la desintegracion de un par de fotones en un par electrón positrón, que corresponde al mismo diagrama de feynman que la desintegracion de un par electrón positrón. Quizá haya violación de alguna simetría que tambien hace imposible el proceso, pero desde el punto de vista cinemático es imposible.

Espero que esta explicación tenga alguna utilidad, un saludo.

[Chusg]

Re: ¿Fotón se desintegra en electrón y positrón?

Como curiosidad, el fenómeno de la "creación de pares" o materialización de un fotón de alta energía en un par electrón-positrón es bien conocido y se menciona en cualquier texto que trate el tema de la interacción de las radiaciones ionizantes con la materia, pero tal como decís no se puede dar en el vacío, tiene que ser en presencia de materia para que un núcleo atómico absorba el exceso de momento.

[clairaut]

Re: ¿Fotón se desintegra en electrón y positrón?

Es cierto que un fotón puede dar lugar a un par electrón positron en presencia de un nucleo como dice chusg, porque para el sistema fotón-nucleo si que puede encontrarse un sistema de referencia en el que el momento resultante sea cero.