Secundaria Movimiento protón en campo magnético uniforme

[Nabla]

¡Muy buenas!

Ando un poco liado con este ejercicio de campo magnético, a ver si alguien me puede orientar un poco.

Un protón de velocidad $10^7 m/s$ penetra en una zona de campo magnético uniforme de valor $B=0'8 T$, dirigido perpendicularmente hacia dentro, como se ve en la figura. Si $\theta={60}^{o}$, ${q}_{proton}=1'6. {10}^{-19}C$, ${m}_{proton}=1'67. {10}^{-27}kg$, determina el ángulo $\Phi$ y la distancia $d$.



Pues bien, yo lo que he pensado es que, independientemente del ángulo $\theta ={60}^{o}$, el vector $\vec{v}$ es perpendicular a $B$, y por lo tanto la trayectoria que seguirá el protón será circular. Igualando la fuerza de Lorentz con la fuerza centrípeta, hallo el radio de Larmor ($R=\dfrac{mv}{qB}$) . Precisamente, $d=2R$. Creo que hasta aquí todo correcto, aunque no estoy muy seguro del todo (hasta ahora siempre he trabajado con ejercicios en los que $\theta={90}^{o}$, por lo que éste me resulta un poco extraño). Ahora bien, ¿cómo calcular el ángulo de salida $\Phi$? Lo único que se me ha ocurrido es que, una vez tienes el radio, puedes hallar $\omega$ ($\omega=\dfrac{v}{R}$); con ello, puedes aplicar la ecuación del MCU ($\varphi={\varphi }_{0}+\omega t$). No sé si aquí tiene mucha aplicación, ya que esta ecuación nos da el ángulo recorrido, pero no el de salida.

Estoy un poco confuso, ciertamente. Si alguien pudiera verificar si la primera parte es correcta, o pudiera orientarme un poco en el camino a seguir para hallar el ángulo en la segunda parte, estaría muy agradecido.

Gracias por vuestro tiempo

[Al2000]

Re: Movimiento protón en campo magnético uniforme

Fíjate que las direcciones de entrada y salida del protón son tangentes al mismo círculo de radio $R = m v / q B$. La línea vertical que marca la frontera del campo sería una cuerda trazada desde el punto de entrada al de salida. Por consideraciones de simetría los ángulos de entrada y de salida son iguales y se puede verificar que $d = 2 R \, \mathrm {sen} \, \theta$.

Saludos,

Al

[Nabla]

Re: Movimiento protón en campo magnético uniforme

Entiendo que las direcciones de entrada y salida son tangentes a la circunferencia que se describe, y también comprendo que si $\theta={90}^{o}$, entonces $d=2R$ y, por lo tanto, no teniendo ángulo recto como es el caso, $d$ será una cuerda cuyo valor no será $2R$. Ahora bien, no veo exactamente cómo concluir que $d=2Rsen\theta$. He tomado diversos triángulos pero no llego a ver de dónde sale dicho valor

[Al2000]

Re: Movimiento protón en campo magnético uniforme

Haz el dibujo y verás que se forma un triángulo isósceles con dos lados $R$ (radios de entrada y salida) y el otro lado es $d$. El ángulo que forman los radios en el centro del círculo es $2 \theta$. Parte este triángulo por la mitad y tendrás un triángulo rectángulo de ángulo $\theta$ en el centro del círculo, hipotenusa $R$ y cateto opuesto a $\theta$ igual a $d/2$.

Saludos,

Al

[Nabla]

Re: Movimiento protón en campo magnético uniforme

Pero, según el dibujo, ¿no formarían los radios en el centro del círculo un ángulo $\theta$ en vez de $2\theta$? Para ello he "alargado" las direcciones de entrada y de salida hasta que se cortan en un punto, determinando ahí un ángulo de $2\theta$. Trazando también los radios de entrada y de salida hasta el centro del círculo, queda determinada una figura de 4 lados, donde los ángulos son $2\theta$ (el que determina el corte de las prolongaciones de las direcciones de entrada y salida), 2 ángulos rectos (los ángulos que se determinan al trazar los radios de entrada y de salida, puesto que el ángulo recto es una condición impuesta por la tangencia) y el ángulo restante, determinado en el centro del círculo por los dos radios, que sólo nos queda que sea $\theta$. Según ésto, $d=2R\sin \dfrac{\theta}{2} =2R\cos \theta$

[Al2000]

Re: Movimiento protón en campo magnético uniforme

..Para ello he "alargado" las direcciones de entrada y de salida hasta que se cortan en un punto, determinando ahí un ángulo de $2\theta$...

Pues camarada, vuelve al tablero de dibujo y revisa. Si prolongas las direcciones de entrada y salida hasta que se corten, el ángulo que forman es de $\pi - 2 \theta$.

Saludos,

Al

[Nabla]

Re: Movimiento protón en campo magnético uniforme

Siento ser tan pesado, pero por más que reviso el dibujo, no logro encontrar el fallo en él.



Un saludo

[Al2000]

Re: Movimiento protón en campo magnético uniforme

Errrrr, disculpa, estaba equivocado. Por alguna razón copié en el papel el ángulo formado entre la dirección de entrada y la frontera como $\theta$. Me corrijo entonces... el ángulo en el centro vale $\pi - 2 \theta$, el semi-ángulo es $\pi / 2 - \theta$ y el valor de $d$ sería $d = 2 R\, \mathrm {sen} \, (\pi/2 - \theta ) = 2 R \cos \theta$.

Me disculpas la confusión que causé, pls. Saludos,

Al

[Nabla]

Re: Movimiento protón en campo magnético uniforme

No pasa nada aún así fuiste de gran ayuda para comprender la esencia del problema, lo demás fueron consideraciones geométricas.

Un saludo