1r ciclo Problema campo electrico y gauss

[Nachopla]

Buenas,

Tengo dos problema, los cuales no he podido resolver, son los siguientes:

El plano -x+3y-6z=6 contiene una distribucion uniforme de carga $\dst \rho = \frac{{10}^{-9 }}{6\pi }$ encuentre $\dst \vec{\epsilon }$ en el lado que contiene al origen.

He podido determinar sin problemas el modulo del vector de campo electrico, sin embargo no lo he podido expresar en forma de vector, no se como determinar la direccion del vector desde un plano a un pto. (Si existiese una forma general de expresar un vector, desde un plano a un punto, agradeceria que me la enseñaran).

Halle la carga neta encerrada en cubo de 2 m de arista, paralelo a los ejes y centrado en el origen, si la densidad de la carga es $\dst \rho = 50{x}^{ 2}\cos \frac{\pi }{2 }y$

Se me ocurrio resolverlo, con la relacion de $Q=\int \rho dv$, pero no se como integrar el volumen de un cubo.

Esas serian mis consultas, espero que me puedan ayudar.
Desde ya gracias
Saludos

[Al2000]

Re: Problema campo electrico y gauss

Para el primero, podrías determinar el vector unitario normal al plano haciendo el producto vectorial de dos vectores no paralelos cualesquiera pertenecientes al plano. Seguramente habrá una fórmula directa, pero en estos momentos no lo recuerdo. Cuestión de revisar el libro de geometría analítica...

Para el segundo: $\dst Q = \int \rho \, dv = 50 \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\!\! x^2 \cos \left( \frac \pi 2 y\right)\,dx\,dy\,dz = \frac {800}{3 \pi } \approx 84.8826$ unidades de carga.

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: Problema campo electrico y gauss

Un vector normal al plano $-x+3y-6z=6$ es el $(-1,3,-6)$. Por tanto los unitarios a los que se refiere Al son $\pm(-1,3,-6)/\sqrt{46}$, donde cada signo corresponde a cada uno de los dos lados del plano.

[Al2000]

Re: Problema campo electrico y gauss

En estos días he estado muy "ocupado" probando la versión beta de Diablo III, pero entre una y otra sesión de matazón de monstruos no dejé de pensar en cómo resolver el problema por el método de fuerza bruta. Lo pongo aquí por si les llama la atención.

Dado el plano de ecuación $a x + b y + c z + d = 0$, con $c \neq 0$, el campo en el origen de coordenadas vale

$$\boldsymbol E_{(0,0,0)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int\frac {-x\, \boldsymbol i - y\, \boldsymbol j - z\, \boldsymbol k}{\left(x^2 + y^2 + z^2\right)^{3/2}}\,dq = \frac \sigma {4 \pi \epsilon_0} \int \frac {-x\, \boldsymbol i - y\, \boldsymbol j - z\, \boldsymbol k}{\left(x^2 + y^2 + z^2\right)^{3/2}}\,dA$$

donde

$$z = \frac 1 c (-a x -b y - d)$$

y

$$dA = \sqrt {\left(\frac {\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left (\frac {\partial z}{\partial y}\right)^2 + 1}\, dx\,dy = \frac {\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} c\,dx\,dy$$

Al sustituir (2) y (3) en (1) se obtiene la nada alentadora expresión

$$\boldsymbol E_{(0,0,0)} = -\frac \sigma {4 \pi \epsilon_0} \frac {\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} c \int_{-\infty }^{\infty } \int_{-\infty }^{\infty }\! \frac {x\, \boldsymbol i + y\, \boldsymbol j + [(-a x -b y - d)/c]\, \boldsymbol k}{\left[x^2 + y^2 + ((-a x -b y - d)/c)^2\right]^{3/2}}\,dx\,dy$$

Un trabajo de hormiguita, en parte manual y en parte usando software me llevó a

$$\boldsymbol E_{(0,0,0)} = -\frac \sigma {4 \pi \epsilon_0} \frac {\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} c \left(- \frac {2 \pi a c \, \boldsymbol i + 2 \pi b c \, \boldsymbol j + 2 \pi c^2 \, \boldsymbol k}{a^2 + b^2 + c^2}\right)$$

expresión que se puede factorizar y simplificar hasta

$$\boldsymbol E_{(0,0,0)} = \frac \sigma {2 \epsilon_0} \left( \frac {a \, \boldsymbol i + b \, \boldsymbol j + c\, \boldsymbol k}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}}\right)$$

Bueno, sólo restaría repetirlo para un punto cualquiera del espacio y comprobar que el campo es uniforme jajajajaja

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: Problema campo electrico y gauss

Se nota que te has estado acostumbrando a matar monstruos