2o ciclo ¡Ayuda! Cálculos en modelo LambdaCDM

[Planta]

Hola. Desde hace varios días estoy tratando de resolver un problema relacionado con el modelo LambdaCDM. Es el siguiente:
Tenemos el modelo cosmológico de Friedmann estándar correspondiente a $k=0$ y $\Lambda > 0$, es decir $(\mathbb{R}^{+} \times _f \mathbb{R}^3, \Lambda >0, \rho)$ con función de alabeo $f$ dada por
$f = C (\cosh \sqrt{3\Lambda}t - 1)^{1/3}, C^3=3A/2\Lambda$
para alguna constante $A$ mayor que cero y el valor positivo de $H:=\frac{f'}{f}$ para cierto $t_0 \in \mathbb{R}^{+}$ es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Sea $\rho _0^c =\frac{3H_0^2}{8 \pi}$ la densidad de energía crítica en $t_0$ y supóngase que $\rho _0 = \rho (t_0)=0,27 \rho _0 ^c$.
-Hallar la edad del universo ($t_0$) y el instante en que la aceleración cambió de signo.
-Hallar el instante de emisión ($t_p$) para una galaxia con $z = 1/5$, para un
quasar con $z = 2$ y para la radiación de fondo ($z = 1089$)
-Hallar la distancia (propia) actual a una galaxia con $z = 1,5$ y a un
quasar con $z = 2$, el horizonte de partículas y el horizonte de sucesos.
-Hallar el desplazamiento de frecuencia cosmológico para una galaxia
cuya distancia (propia) actual sea la distancia de Hubble y para otra
cuya distancia (propia) actual sea el horizonte de sucesos.

Bien. El principal problema al que uno se enfrenta es que lambda no es cero... He trabajado otros modelos más sencillos o con lambda cero, pero este se me resiste y no tengo demasiado tiempo. Cualquier ayuda o pista será de agradecer. Es más, sería muy interesante que alguien me sugieriera bibliografía en la que se hagan los cálculos para este modelo.

En fin, un saludo y muchas gracias!

(EDITO: Gracias a arivasm por ayudarme a introducir latex en el mensaje)

[Planta]

Re: ¡Ayuda! Cálculos en modelo LambdaCDM

Perdón, he escrito todo el problema en código latex y no funciona. Edito...

[arivasm]

Re: ¡Ayuda! Cálculos en modelo LambdaCDM

No encierres el código entre [TEX] y [/TEX] y te echaremos una mano con la razón por la que no se ve (con el problema es muy posible que yo no te pueda ayudar).

[Planta]

Re: ¡Ayuda! Cálculos en modelo LambdaCDM

¡Gracias! Bueno, lo que me interesa es que alguien que tenga más experiencia que yo trabajando con los modelos tipo Friedmann me ayude... Vosotros los físicos os los encontraréis más a menudo que yo, que lo mío son las mates. Creo que estos cálculos son muy representativos, así que alguien los habrá hecho alguna vez en la vida.

[arivasm]

Re: ¡Ayuda! Cálculos en modelo LambdaCDM

Éste es el mensaje de Planta:

Hola. Desde hace varios días estoy tratando de resolver un problema relacionado con el modelo LambdaCDM. Es el siguiente:

Tenemos el modelo cosmológico de Friedmann estándar correspondiente a $k=0$ y $\Lambda > 0$, es decir $(\mathbb{R}^{+} \times _f \mathbb{R}^3, \Lambda >0, \rho)$ con función de alabeo $f$ dada por
$f = C (\cosh \sqrt{3\Lambda}t - 1)^{1/3}, C^3=3A/2\Lambda$
para alguna constante $A$ mayor que cero y el valor positivo de $H:=\frac{f'}{f}$ para cierto $t_0 \in \mathbb{R}^{+}$ es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Sea $\rho _0^c =\frac{3H_0^2}{8 \pi}$ la densidad de energía crítica en $t_0$ y supóngase que $\rho _0 = \rho (t_0)=0,27 \rho _0 ^c$.
-Hallar la edad del universo ($t_0$) y el instante en que la aceleración cambió de signo.
-Hallar el instante de emisión ($t_p$) para una galaxia con $z = 1/5$, para un
quasar con $z = 2$ y para la radiación de fondo ($z = 1089$)
-Hallar la distancia (propia) actual a una galaxia con $z = 1,5$ y a un
quasar con $z = 2$, el horizonte de partículas y el horizonte de sucesos.
-Hallar el desplazamiento de frecuencia cosmológico para una galaxia
cuya distancia (propia) actual sea la distancia de Hubble y para otra
cuya distancia (propia) actual sea el horizonte de sucesos.

Bien. El principal problema al que uno se enfrenta es que lambda no es cero... He trabajado otros modelos más sencillos o con lambda cero, pero este se me resiste y no tengo demasiado tiempo. Cualquier ayuda o pista será de agradecer. Es más, sería muy interesante que alguien me sugieriera bibliografía en la que se hagan los cálculos para este modelo.

En fin, un saludo y muchas gracias!

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Y para ayudar a Planta con el Latex pongo el texto anterior como se ve en el editor:

Hola. Desde hace varios días estoy tratando de resolver un problema relacionado con el modelo LambdaCDM. Es el siguiente:
Tenemos el modelo cosmológico de Friedmann estándar correspondiente a [TEX]k=0[/TEX] y [TEX]\Lambda > 0[/TEX], es decir [TEX](\mathbb{R}^{+} \times _f \mathbb{R}^3, \Lambda >0, \rho)[/TEX] con función de alabeo [TEX]f[/TEX] dada por
[TEX]f = C (\cosh \sqrt{3\Lambda}t - 1)^{1/3}, C^3=3A/2\Lambda[/TEX]
para alguna constante [TEX]A[/TEX] mayor que cero y el valor positivo de [TEX]H:=\frac{f'}{f}[/TEX] para cierto [TEX]t_0 \in \mathbb{R}^{+}[/TEX] es [TEX]H_0=H(t_0)\sim \notcien{13,8}{9}\;\rm{a\~nos} )^{-1}[/TEX]. Sea [TEX]\rho _0^c =\frac{3H_0^2}{8 \pi}[/TEX] la densidad de energía crítica en [TEX]t_0[/TEX] y supóngase que [TEX]\rho _0 = \rho (t_0)=0,27 \rho _0 ^c[/TEX].
-Hallar la edad del universo ([TEX]t_0[/TEX]) y el instante en que la aceleración cambió de signo.
-Hallar el instante de emisión ([TEX]t_p[/TEX]) para una galaxia con [TEX]z = 1/5[/TEX], para un
quasar con [TEX]z = 2[/TEX] y para la radiación de fondo ([TEX]z = 1089[/TEX])
-Hallar la distancia (propia) actual a una galaxia con [TEX]z = 1,5[/TEX] y a un
quasar con [TEX]z = 2[/TEX], el horizonte de partículas y el horizonte de sucesos.
-Hallar el desplazamiento de frecuencia cosmológico para una galaxia
cuya distancia (propia) actual sea la distancia de Hubble y para otra
cuya distancia (propia) actual sea el horizonte de sucesos.

[Planta]

Re: ¡Ayuda! Cálculos en modelo LambdaCDM

¡Anda! Es que yo pensaba que iba a funcionar de otra forma, jeje... Vale, resulta que los [TEX] son el equivalente a $. ¡Gracias!
Pues eso, sigo pendiente a ver si alguien me ayuda con este problemilla. Un saludo.

[Planta]

Re: ¡Ayuda! Cálculos en modelo LambdaCDM

¿Nadie? jeje... Bueno, he editado el primer mensaje para que se viera bien del todo. Sigo con el modelo, cuando lo consiga (si sucede) lo pongo ahí.

[pod]

Re: ¡Ayuda! Cálculos en modelo LambdaCDM

Hace unos años tenia mucha agilidad con este tipo de problemas... mecachis la edad Espero recordar correctamente lo que escribo a continuación. Asumo que tu "f" es el factor de escala, que normalmente es "a".

Te sugiero que tomes las ecuaciones de Fridman en su forma de "densidades":

$$\frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_R a^{-4} + \Omega_M a^{-3} + \Omega_k a^{-2} + \Omega_\Lambda .$$

La densidad que te dan, supongo que es de materia y no hay radiación en este universo (¿haces esa misma interpretación? Es lo más adecuado para un modelo de materia oscura fría). Por lo tanto, $\Omega_M = 0$. Y, por supuesto, $\Omega_k = 0$. Por otro lado, lo que te dicen es que $\Omega_M = 0.27$. Y por lo tanto, $\Omega_\Lambda = 0.73$ (todas las omegas deben sumar uno, como se puede ver simplemente aplicando la ecuación actual a $t_0$).

A partir de aquí te queda una ecuación diferencial para a en función del tiempo cosmológico (recuerda que $H = \dot a / a$). El tiempo de vida del universo se obtiene aplicando la condición de contorno $a(0) = 0$.