Problema de Mecánica hamiltoniana

[fisiko88]

Me dan el siguiente lagrangiano (perdón no se Latex) : L = 1/2*exp(b*t/m)*(m*(q.)^2-k*q^2) donde b,m,k son constantes positivas (y (q.) es la derivada de "q" con respecto al tiempo). El problema tiene un solo grado de libertad (q).
Y me dan la siguiente transformación:
t'=t + epsilon
q'=q*(1-epsilon*b/(2*m))

Y me dicen que conpruebe que la integral de acción es invariante. Pero a mi no me queda invariante. Pues me queda delante un factor (constante) que la multiplia. Vamos si la integral de acción la llamo S[q]; la de la transformación me quedaría una constante R*S[q]. ¿Qué hago mal? Un saludo y gracias!!

[pod]

Re: Problema de Mecánica hamiltoniana

Pues para empezar, lo primero que no tienes bien es el título El hamiltoniano no importa en este problema

Bien, ese cambio tiene sentido para $\epsilon$ pequeño, lo que te permite expandir la exponencial,

$\mathrm{e}^{\frac{b}{m} t'} = \mathrm{e}^{\frac{b}{m} (t+\epsilon)} = \mathrm{e}^{\frac{b}{m} t}\left(1+\frac{b}{m} \epsilon\right) + o(\epsilon)^2 \ .$

La otra parte del lagrangiano (que no es más que un oscilador armónico), se transformará quedando multiplicada por

$\left( 1 - \frac{b}{2m} \epsilon \right)^{\!\!2} = 1 - \frac{b}{m} \epsilon + o(\epsilon)^2 \ .$

Si lo juntas todo, verás como no hay orden lineal en $\epsilon$. Es casi trivial de ver, ya que al multiplicar los dos factores tenemos suma por diferencia.

[fisiko88]

Re: Problema de Mecánica hamiltoniana

Y sería válido aplicar el teorema de Noether para hallar la cantidad conservada, suponiendo que la integral de acción tiene una invarianza (aunque en realidad solo lo es en aproximación lineal). Quizá es que no he entendido muy bien que exige el teorema de Noether, o si con probar la invarianza en términos lineales es suficiente. Si me pudieras dar alguna pincelada teórica para entenderlo te lo agradecería mucho xD. Un saludo y gracias de todas formas!

[pod]

Re: Problema de Mecánica hamiltoniana

Y sería válido aplicar el teorema de Noether para hallar la cantidad conservada, suponiendo que la integral de acción tiene una invarianza (aunque en realidad solo lo es en aproximación lineal). Quizá es que no he entendido muy bien que exige el teorema de Noether, o si con probar la invarianza en términos lineales es suficiente. Si me pudieras dar alguna pincelada teórica para entenderlo te lo agradecería mucho xD. Un saludo y gracias de todas formas!

Sí sí, el teorema de Noether se suele aplicar a primer orden, es lo que se llama una transformación infinitesimal. De hecho normalmente el teorema se fundamenta directamente con transformaciones infinitesimales por simplicidad. Una transformación finita, para cualquier $\epsilon$, siempre se puede obtener como muchas transformaciones infinitesimales sucesivas (es decir, haciendo una especie de integral). De hecho, para el caso dado, es fácil ver que la transformación completa, para cualquier valor del parámetro, es simplemente

$q' = q \mathrm{e}^{-\frac{b}{m}\epsilon}\ .$