Otras carreras cursor con rozamiento

[LauraLopez]

El cursor de masa 2 Kg, se mueve con rozamiento despreciable en un tubo liso, mostrado en seccion en la figura el tubo gira alrededor del eje vertical fijo B con una velocidad angular de 90 r.p.m la cuerda que sostiene al cursor pasa a traves del agujero inferior del tubo con una velocidad constante de 10 cm / seg.

Calcular la componente N en el plano de la figura y la componente H normal al plano de la figura de la fuerza total F ejercida por el tubo sobre A cuando alcance la posicion r= 25 cm

La solucion es :

N = 39, 53 N
H = 3,26 N

Alguna ayuda porque me re cuesta saber como arrancar a resolverlo estoy media perdida...

[LauraLopez]

Re: cursor con rozamiento

No me queda claro quien es N y quien es H.... o sea como poder "dibujarlas" en el diagrama para asi entender algo un poquito mas

[arivasm]

Re: cursor con rozamiento

Aclararé el enunciado: se trata de descomponer la fuerza sobre A ejercida por el tubo en dos componentes. Una de ellas, H, sería perpendicular al plano del dibujo (es decir, saldría o entraría de él, de modo que no habría manera de dibujarla salvo el convenio de usar · si es saliente o x si es entrante), mientras que la otra, N, sí es dibujable en la propia figura. Esta última es muy clara: será perpendicular al tubo.

Para resolver el problema, algo que sinceramente debería pensar algo más, está claro que hay que recurrir a la 2ª ley, teniendo en cuenta que la suma de las dos componentes anteriores más el peso y más la fuerza T será igual a masa de A por aceleración. Por tanto, esta última será el nudo gordiano del ejercicio (desde luego si A no se moviese sobre el tubo H sería nula; de todos modos, quiero pensarlo algo más).

[LauraLopez]

Re: cursor con rozamiento

una pregunta la fuerza esa F que menciona seria F = N + H ???

sobre la tension T que aparece , seria otra fuerza que no es la misma que F no?

Mucho no pude hacer...puede ser que tenga que plantear los ejes radial y transversal? yo dibuje esos ejes y veo que sobre el eje transversal si proyecto tengo:

$N - mg\cos 30 = m {a}_{\theta } = m( 2r$ ° $w)$

r° con esto quice indicar la velocidad radial ( r punto) pero nose como poner una r con un puntito arriba....

asumi que la aceleracion angular es cero porque la velocidad angular w es constante no?

Estoy muy lejos de la forma de resolverlo?? algo mal debo tener porque si reemplazo los valors no llego al valor de N que dice la solucion pero bueno es la primera aproximacion :P

[arivasm]

Re: cursor con rozamiento

Sería $\vec F=\vec H + \vec N$.

Sobre la T, en mi mensaje anterior la llamé erróneamente F (ya lo he corregido). No, no es la misma que F.

Para poner un punto usa \dot: \dot x = $\dot x$

Quizá el ejercicio se plantee adecuadamente manejando coordenadas cilíndricas, es decir, la distancia $r$ al eje de giro, el ángulo $\phi$ de rotación alrededor de éste y y la altura $z$ respecto del punto donde la cuerda llega al eje de giro (la parte inferior del tubo).

Observo que el ejercicio dice que la partícula se está desplazando por el interior del tubo a 10 cm/s (y no sabemos si lo hace con la cuerda entrando o saliendo). Por tanto, la velocidad tendrá las tres componentes: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (lo del $\pm$ es porque no sé si entra o sale), [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y $v_\theta=r\omega$.

Yo tampoco estoy por ahora demasiado cerca de cómo se resuelve. Aún no tengo claro cómo conectar el movimiento con la aceleración, que es la clave del problema. Probaré el uso de las coordenadas cilíndricas. Ya te contaré.

Saludos.

[arivasm]

Re: cursor con rozamiento

Hola Laura.

Creo que ya tengo la solución del problema, empleando coordenadas cilíndricas. Lo que no sé bien es cómo orientarte. De todos modos, te contaré cómo lo he hecho. Claro que quizá alguien conozca otra forma más sencilla.

Como te dije antes, propongo el uso de coordenadas cilíndricas: la distancia al eje de giro, que llamaré r (espero que no confunda con la distancia al origen de coordenadas, que tomaré en el extremo inferior izquierdo del tubo, que está en el eje de giro); el ángulo $\varphi$ que forma la proyección del tubo contra el plano XY (perpendicular al eje de giro) con un eje X (fijo) tomado en dicho plano; y la coordenada $z$ tomada sobre el propio eje de giro.

Mi propuesta pasa por encontrar la relación entre la aceleración escrita en coordenadas cartesianas, $(\ddot x,\ddot y,\ddot z)$ y las coordenadas anteriores, para lo que hay que derivar dos veces respecto del tiempo las transformaciones de coordenadas:

$x=r\cos\varphi$
$y=r\sin\varphi$

En la expresión que encuentres ten en cuenta que $\dot r$ es la componente radial (es decir, en la dirección de $r$) de la velocidad que tiene la partícula respecto del tubo (los 10 cm/s, a los que llamaré $q$ porque no se me ocurre una letra mejor), es decir, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Como es una cantidad constante, puedes usar que $\ddot r=0$.

Asimismo, podemos tener en cuenta que $\dot\varphi=\omega=3\pi\,\rm rad/s$, con lo que, también, $\ddot \varphi=0$.

Por otra parte, la componente Z de la velocidad será [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Como antes, al ser constante, $\ddot z=0$.

Al aplicar todo esto tendrás una expresión relativamente sencilla para las componentes cartesianas de la aceleración:

$\ddot x=-2\dot r \omega \sin\varphi - r \omega^2 \cos\varphi$

$$\ddot y=2\dot r \omega \cos\varphi - r \omega^2 \sin\varphi$$

$\ddot z=0$

El siguiente paso que te propongo es encontrar las componentes cartesianas para los vectores unitarios que corresponden a las coordenadas cilíndricas, que llamaré $\vec u_r$, $\vec u_\varphi$ y $\vec u_z$.

Deberás obtener que

$\vec u_r=(\cos\varphi,\sin\varphi,0)$

$$\vec u_\varphi=(-\sin\varphi,\cos\varphi,0)$$

$\vec u_z=(0,0,1)$

Con estos vectores tenemos que (1) admite ser escrito de esta manera tan sencilla:

$\vec a=2\dot r\omega\vec u_\varphi-r\omega^2\vec u_r$

Por último, simplemente hay que aplicar la segunda ley de Newton, teniendo en cuenta que H tiene la dirección de $\vec u_\varphi$, mientras que N, T y el peso están en el plano que definen $\vec u_r$ y $\vec u_z$, que es el del dibujo del enunciado (la dirección de H es perpendicular).

De esta manera, finalmente obtengo que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y al substituir los valores, eso sí, con $g=10\;\rm m/s^2$, encuentro los resultados que indicas.

Espero no haberte guiado en exceso, ni tampoco por defecto. No sé si habré sido útil o todo lo contrario!

[LauraLopez]

Re: cursor con rozamiento

ufff que complicado vamos de a poco....

la primer duda es... la velocidad que llamas $q$ en cuanto a su direccion es igual a la del tubo no? o sea con esa inclinacion de 30 grados?

Luego para ubicarme mas en el dibujo el eje vertical es el que llamas z y el horizontal seria el eje que llamas x??

porque no veo como te das cuenta de esto [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[arivasm]

Re: cursor con rozamiento

He llamado $q$, por "bautizarla" de alguna manera, a la velocidad con la que A se desliza por el interior del tubo, es decir a los 10 cm/s que aparecen en el enunciado. Ciertamente, en el dibujo será una velocidad inclinada 30º respecto de la horizontal.

Ciertamente el eje vertical del dibujo sería el Z.

Para el X tienes dos maneras de verlo. Una es que se trata de una línea horizontal del dibujo, y que el tubo al girar se "sale" del papel. Otra, que encuentro más adecuada, es que X es una dirección fija, tomada en horizontal, y pensar que todo el dibujo (papel incluido!) gira alrededor de Z, de manera que la línea punteada del dibujo está formando en cada instante un ángulo $\varphi$ con el eje X (por cierto, que $\varphi = \omega t$).

La $\dot r$ es la "velocidad" a la que cambia la distancia entre A y el radio de giro. Como siempre permíteme que haga una explicación un tanto tosca para relacionarla con $q$: si A avanza una distancia $d$ por el tubo entonces se alejará del eje una distancia [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Por supuesto, queda más elegante decir que $\dot r$ es la componente radial de $\vec q$.

[LauraLopez]

Re: cursor con rozamiento

claro lo que me costaba ver era porque la proyeccion era por el coseno del angulo pero creo que mas alla de lo que te pregunte del eje x tiene que ver con que tomaste como que r es la distancia horizontal que hay entre el eje de rotacion (eje z) entonces si r es esa distancia horizontal el r punto sera la proyeccion de la velocidad que llamaste q por el coseno de 30....
Si eso que dije esta bien voy entendiendo ahora continuo con la parte de los vectores unitarios haber si me sale y cualquier cosa te consulto...

[arivasm]

Re: cursor con rozamiento

Sí, lo que dices está bien.

[LauraLopez]

Re: cursor con rozamiento

ahora que lo mire bien desconozco como se hace eso de los vectores unitarios....como sabes que deberian ser esos valores? de donde sale eso?

[LauraLopez]

Re: cursor con rozamiento

y esto $\vec a=2\dot r\omega\vec u_\varphi-r\omega^2\vec u_r$ tampoco entiendo como aparece....

[arivasm]

Re: cursor con rozamiento

Dibuja sólo el plano XY, con r trazado desde el origen hasta la proyección de A en dicho plano y de manera que forme un ángulo $\varphi$ con el eje X. El vector unitario $\vec u_r$ tiene que llevar la misma dirección y sentido que $r$, el $\vec u_\varphi$ será perpendicular (tómalo en el sentido de aumento de $\varphi$).

Con respecto a lo que preguntas en el post anterior, ¿ya has encontrado las ecuaciones que etiqueté antes como (1)? Si es así, en cuanto tengas los vectores unitarios (es decir, las ecuaciones que etiqueté como (2)), sólo es cuestión de compararlas.

[LauraLopez]

Re: cursor con rozamiento

Veo que haciendo los reemplazos en esa ecuacion se llega a la anterior pero como te das cuenta de eso?

o sea la aceleracion a es igual a la suma de las 3 componentes x ,y,z ? para ver si por medio de algun calculo puedo llegar a esa expresion o la unica forma es a ojo darse cuenta que se podria reescribir asi como hiciste?

[arivasm]

Re: cursor con rozamiento

Sobre lo de la aceleración y las componentes: sí, claro. Del mismo modo que el vector de posición es $(x,y,z)$, la velocidad es $(\dot x,\dot y,\dot z)$ y la aceleración es $(\ddot x,\ddot y,\ddot z)$. Sobre cómo se da uno cuenta, es lo de siempre: haberlo hecho tantas veces que te "pega" en la vista. Por otra parte, en Física (y quizá también en Ingeniería si tenéis alguna asignatura de Mecánica teórica -lagrangianas y todo eso-) es muy común el uso de coordenadas, más que los propios vectores (que son vistos como una excusa para agrupar la notación de las cosas, más que un objeto de interés en sí mismo -claro que quizá esté exagerando, pues depende del problema-).