Otras carreras Momento de Inercia de Masa de un Elipsoide

[apuroschiles]

bueno, antes que nada, gracias por leer el post
Ahora mi pregunta:
En la clase de mecanica 2 me dieron una tarea, era sobre calcular el momento de inercia de un elipsoide, he estado todo el dia tratando de hacer la tarea de relacionar la definicion de inercia de masa en el problema, viendo ejemplos de cuerpos conocidos y pues no entiendo.
mi conocimiento de inercia es muy vago ya que me lo pasaron en un mal momento de la universidad (despues de una toma) y pues, ahora lo siento.
la verdad es que ya tengo la solución de la tarea, pero no sé el por qué.
Me gustaría comprender lo que me piden y no copiar y pegar como lo hacen por ahí.

desde ya muchas gracias por responder.

[[Beto]]

Re: Momento de Inercia de Masa de un Elipsoide

¿Te refieres a calcular el tensor de inercia para un elipsoide de revolución o a calcular alguno de los momentos de inercia respecto a sus ejes principales? En caso de que te pidan el tensor de inercia tienes que encontrar los tres momentos de inercia $I_{xx},I_{yy},I_{zz}$ además tres productos de inercia $I_{xy},I_{yz},I_{xz}$ ya que el tensor es simétrico.

No entiendo bien tu duda, aunque sospecho que puede ser que no entiendas para qué sirve esa cosa a la que llaman tensor de inercia, si es así de lo que recuerdo te puedo decir que así como la dinámica traslacional está caracterizada por la masa, la dinámica rotacional de un sólido rígido está caracterizada por el tensor de inercia y el prducto de este por la velocidad angular da como resultado la energía cinética de rotación respecto al sistema de referencia donde se esté calculando.

[apuroschiles]

Re: Momento de Inercia de Masa de un Elipsoide

Gracias por responder!
bueno, la pregunta es esta: Determine los momentos de inercia de masa de las siguientes figuras. (es que es diferente para cada alumno)
6.- Elipsoide de masa m.
cuando busqué por internet me aparecían resultados como los que tú me nombras y me concentré más en aquellos que se debía calcular los momentos de inercia respecto a sus ejes principales. ya que creo haberlo oído el poco tiempo que estubimos en clases el pasado semestre.
Espero entiendas mi duda.
saludos!

[[Beto]]

Re: Momento de Inercia de Masa de un Elipsoide

Hola, entonces lo único que tienes que tienes que hacer es calcular $I_{zz}=\int \prho (x^2+y^2)\dd x\dd y\dd z$, $I_{yy}=\int \prho (x^2+z^2)\dd x\dd y\dd z$ y $I_{xx}=\int \prho (y^2+z^2)\dd x\dd y\dd z$.

Si ya tienes la solución seguramente ves que resolver las integrales no es muy complicado, y vienen a ser una generalización de $I=mr^2$ que es elmomento de inercia para una partícula de masa $m$, respecto de un eje ubicado a una distancia $r$, ahora si tienes como eje a cualquiera de los ejes cartesianos, por ejemplo al eje $X$, la distancia al cuadrado de un punto hacia ese eje será $r^2=y^2+z^2$, y si estámos en el caso de un sólido rígido tendrás que ya no se tiene una masa $m$ si no un diferencial de masa $\dd m$, ahora si el sólido tiene una densidad de masa uniformetendrás que $\rho=\dd m/\dd V$, entonces el diferencial de momento de inercia de ese diferencial de masa será $\dd I=(y^2+z^2)\dd m=(y^2+z^2)\rho\dd V$ y como $\dd V=\dd x\dd y\dd z$ en corrdenadas cartesianas obtienes que:

$$\dd I=(y^2+z^2)\rho\dd x\dd y\dd z$$

Donde para obtener $I$ tienes que integrar en todo el volumen.

Lo que te representa el momento de inercia es "la inercia roracional de un cuerpo" es decir a mayor momento de inercia, es mas dificil hacerlo rotar respecto al eje elegido.

[apuroschiles]

Re: Momento de Inercia de Masa de un Elipsoide

Entonces sólo tengo que integrar esa misma expresión que me das (la misma, la misma), pero que ocurre con los límites de integración, ¿cómo los obtengo?

[[Beto]]

Re: Momento de Inercia de Masa de un Elipsoide

Entonces sólo tengo que integrar esa misma expresión que me das (la misma, la misma), pero que ocurre con los límites de integración, ¿cómo los obtengo?

Para obtener los límites de integración debes de tener en cuenta que la ecuación para un elipsoide es:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

de ahí puedes ver que si despejas $z$ entonces $\dst z=\pm c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}$ que son los límites de integración para $z$.

Luego si despejas $y$ cuando $z=0$ obtienes que $\dst y=\pm b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$, y esos son los límites de integración para $y$.

Finalmente si $y=z=0$ entonces $x=\pm a$ que son los límites de integración para $x$.

lo unico con lo que tienes que tener cuidado es que tienes que integrar respecto a $z,y,x$ en ese orden.

[apuroschiles]

Re: Momento de Inercia de Masa de un Elipsoide

y si calculo desde 0 hasta z, y, x, puedo multiplicar cada una de las integrales por dos, ya que es simétrico el cuerpo. Es posible?

[[Beto]]

Re: Momento de Inercia de Masa de un Elipsoide

Si en este caso se puede puesto que la función a integrar es par, de lo contrario no se podría.

[apuroschiles]

Re: Momento de Inercia de Masa de un Elipsoide

perfecto Beto! Muchas Gracias!
he entendido todo a la perfección.
Ahora si está todo en orden. gracias por tu ayuda.
saludos!

[[Beto]]

Re: Momento de Inercia de Masa de un Elipsoide

De nada, procura no escribir en negrita a menos que sea necesario