Secundaria Distancia a la que el ojo humano distingue 2 puntos de tinta

[NaCl]

Sigo repasando para un examen que tendré muy pronto y me he encontrado con otra cuestión que no se como responder, agradecería que alguien me echara una mano. Dice asi:

Dos puntos de tinta roja en una página en blanco estan separados 0,2mm . Suponga que el ojo humano tiene una apertura de 0,5 cm. La mayor distancia a la que le es posible diferenciar los 2 puntos es :

3cm
30cm
1m
3m

nota: la longitud de onda del rojo de la tinta es de 680 nm

[Miguel Pla]

Re: Distancia a la que el ojo humano distingue 2 puntos de tinta

Buenas, NaCl. Se me occurre que podrías darle a tu problema un enfoque geométrico. Trata de visualizar un trapecio isósceles de tal manera que su base mayor sea la apertura del ojo (0,5cm) y la base menor la separación entre los puntos rojos. Ahora, mediante conocimientos básicos de geometría, halla la altura para la cual la base menor, osea la separación entre los puntos sea la longitud de onda del color rojo, pues así, parecería como si solamente hubiese un punto.

Saludos,

Miguel.

acabo de darme cuenta de que mi razonamiento no es correcto.... el caso es que recuerdo un ejercicio similar que resolví hace tiempo, pero seguro que no era así...

Disculpa las molestias.

[Cat_in_a_box]

Re: Distancia a la que el ojo humano distingue 2 puntos de tinta

Hola NaCl,

Para resolver esta cuestión, no tienes más que aplicar el criterio de Rayleigh. Según éste, para que dos fuentes próximas puedan ser resueltas al pasar a través de una abertura circular, en este caso el ojo humano, se tiene que:

$$\alpha_c=1.22\dst\frac{\lambda}{D}$$

Donde $\alpha_c$ es la separación angular crítica y $D$ es el diámetro de la abertura. Así pues, la pupila puede considerarse como una abertura circular, por lo que, al llegar un haz, procedente de los dos puntos rojos, se produce una difracción de tipo Fraunhofer, es decir, de campo lejano.

Con los datos suministrados del problema, puedes calcular cuál es la separación angular crítica, obteniendo, si no me equivoco en los cálculos:

$$\alpha_c=1.22\dst\frac{6.8\cdot 10^{-7}}{5\cdot 10^{-3}}\approx1.66\cdot 10^{-4}\mathrm{rad}$$

Ahora viene la parte geométrica que te han comentado, pero es imprescindible saber esta separación angular crítica, utilizando el criterio que te he comentado. Conocemos la distancia $y=0.2\mathrm{mm}$ entre los puntos. Deseamos conocer la distancia máxima a la que son resueltos como dos puntos, $x$. Así que, con un poco de trigonometría, ves que:

$$\tan \alpha_c=\dfrac{y}{x}\Rightarrow x=\dfrac{y}{\tan\alpha_c}$$

Podemos aproximar $\tan\alpha_c\approx \alpha_c$, obteniendo así un distancia máxima de: $1.2m$. Revisa los cálculos, porque varía ligeramente con el que te dan en las respuestas, pero yo diría que el procedimiento correcto es este.

Saludos,

[NaCl]

Re: Distancia a la que el ojo humano distingue 2 puntos de tinta

Gracias a ambos. Ayer mirando en los ejercicios del libro encontré otra forma de resolverlo. Considerando que para que 2 objetos puntuales se vean como 2 objetos diferentes sus imágenes tienen que proyectarse en la retina sobre 2 conos diferentes que no sean adyacentes. Aun que como en este ejercicio no te daban la distancia entre los conos ni nada de eso la mejor forma de hacerlo es la que has puesto Cat.

Un saludo