1r ciclo Calcular masa, medida y nº nucleones de una molécula

[angel relativamente]

Saludos foreros. Hoy les traigo un problema que se me atasca. En realidad, creo tener el concepto claro, pero puesto que no me coincide con la solución me gustaría que comprobasen mi procedimiento a ver si estoy obviando algo que no debiera. El ejercicio dice lo siguiente (espero traducirlo bien del catalán):

Franklin disfrutaba paseando y ensayando pequeños experimentos. Una tarde observó sorprendido que, si derramaba en un estanque el aceite que contenía una cucharilla ($\sim \; 2 \; cm^3$), la mancha de aceite que se formaba ocupaba una extensión de $2000\; m^3$. Supón que el aceite forma una monocapa molecular sobre el agua, y deduce:
a)La medida de una molécula de aceite
b)La masa de una molécula de aceite (haciendo uso de la densidad)
c)El número de nucleones que tiene la molécula

Estos resultados fueron descubiertos por Lord Rayleigh sobre el 1890, un siglo después de la observación de Franklin.

Sol.: a) $10^{-9}\; m$, b) $10^{-24}\; kg$, c) $500$

El apartado a) es sencillo. El volumen total de la cuchara podremos calcularlo como área de la base por altura, siendo el área de la base la extensión de la mancha de aceite y la altura el diámetro de la molécula de aceite. Y suponiendo que con "medida de una molécula de aceite" se hace referencia a su diámetro, entonces ya podemos expresar la siguiente relación en función de otras variables ya conocidas:

$V=A\cdot d_m \quad \Rightarrow \quad d_m=\dfrac{V}{A}=\dfrac{2\cdot 10^{-6}}{2\cdot 10^3}=10^{-9} \; m$

b) Para el apartado b, he de conocer la densidad. Según fuentes su valor es de $\rho_{ac}=920\; kg\cdot m^{-3}$, por lo que:

$m_m=\rho_{ac}\cdot V_m=\rho_{ac}\cdot \dfrac 43 \pi \left( \dfrac d2 \right)^3=\dfrac {\pi}6 \rho_{ac}\cdot d^3_m=\dfrac {\pi}6 \cdot 920\cdot (10^{-9})^3_m\approx 4,81 \cdot 10^{-25} \neq 10^{-24}$

¿He considerado algo mal? En principio he podido pensar que no fuese correcto el valor de la densidad del aceite, pero probando con la masa de la solución sale una densidad de unos 1900 kg/m3, lo cual no se corresponde con la realidad.

c) Este aún no lo he pensado, pues necesito el resultado del apartado anterior. No obstante, considerando despreciable la masa de los electrones, queda claro que:

$m_m=N\cdot m_N$

Siendo n el número de nucleones. Pero, ¿no me falta el dato de "número de nucleones existentes en una molécula de aceite"? ¿O esa información está implícita en el enunciado?

Y respecto al enunciado, en teoría verídico, ¿cómo es posible ver una mancha de espesor tan despreciable?

Saludos y muchas gracias,

[pod]

Re: Calcular masa, medida y nº nucleones de una molécula

Saludos foreros. Hoy les traigo un problema que se me atasca. En realidad, creo tener el concepto claro, pero puesto que no me coincide con la solución me gustaría que comprobasen mi procedimiento a ver si estoy obviando algo que no debiera. El ejercicio dice lo siguiente (espero traducirlo bien del catalán):



El apartado a) es sencillo. El volumen total de la cuchara podremos calcularlo como área de la base por altura, siendo el área de la base la extensión de la mancha de aceite y la altura el diámetro de la molécula de aceite. Y suponiendo que con "medida de una molécula de aceite" se hace referencia a su diámetro, entonces ya podemos expresar la siguiente relación en función de otras variables ya conocidas:

$V=A\cdot d_m \quad \Rightarrow \quad d_m=\dfrac{V}{A}=\dfrac{2\cdot 10^{-6}}{2\cdot 10^3}=10^{-9} \; m$

b) Para el apartado b, he de conocer la densidad. Según fuentes su valor es de $\rho_{ac}=920\; kg\cdot m^{-3}$, por lo que:

$m_m=\rho_{ac}\cdot V_m=\rho_{ac}\cdot \dfrac 43 \pi \left( \dfrac d2 \right)^3=\dfrac {\pi}6 \rho_{ac}\cdot d^3_m=\dfrac {\pi}6 \cdot 920\cdot (10^{-9})^3_m\approx 4,81 \cdot 10^{-25} \neq 10^{-24}$

¿He considerado algo mal? En principio he podido pensar que no fuese correcto el valor de la densidad del aceite, pero probando con la masa de la solución sale una densidad de unos 1900 kg/m3, lo cual no se corresponde con la realidad.

Como idea (que no he probado), mira a ver si han considerado que la molécula era un cubo en vez de una esfera. Eso significa quitar el factor pi/6, lo que viene a ser multiplicar por dos. O sea que daría más o menos el resultado que te piden en orden de magnitud.

c) Este aún no lo he pensado, pues necesito el resultado del apartado anterior. No obstante, considerando despreciable la masa de los electrones, queda claro que:

$m_m=N\cdot m_N$

Siendo n el número de nucleones. Pero, ¿no me falta el dato de "número de nucleones existentes en una molécula de aceite"? ¿O esa información está implícita en el enunciado?

Y respecto al enunciado, en teoría verídico, ¿cómo es posible ver una mancha de espesor tan despreciable?

Saludos y muchas gracias,

"número de nucleones existentes en una molécula de aceite" es lo que te pregunta el apartado, así que difícilmente te lo van a dar en el enunciado Lo que necesitas es la masa de cada nucleón.

[angel relativamente]

Re: Calcular masa, medida y nº nucleones de una molécula

Con un cubo me queda $9,2\cdot 10^{-25}\; kg$, que como dices se aproxima bastante al resultado (y supongo que pedirán aproximación ya que en el enunciado dan datos aproximados)
Y sí, me refería a que falta la masa del nucleón (soy un maestro de escribir lo que no debo).

Muchas gracias pod.

Saludos,

[pod]

Re: Calcular masa, medida y nº nucleones de una molécula

Con un cubo me queda $9,2\cdot 10^{-25}\; kg$, que como dices se aproxima bastante al resultado (y supongo que pedirán aproximación ya que en el enunciado dan datos aproximados)
Y sí, me refería a que falta la masa del nucleón (soy un maestro de escribir lo que no debo).

Muchas gracias pod.

Saludos,

Los nucleones son protones y neutrones. Su masa es prácticamente idéntica (sobre todo si nos quedamos en ordenes de magnitud), así que puedes tomar la masa de un protón como patrón para el asunto. No sé si en 1890 se tenia ese dato, pero como substitutivo contemporáneo se puede poner la masa de un átomo de hidrógeno, ya que el electrón contribuye sólo en una parte entre mil.