Secundaria Desigualdad de desviaciones

[juantv]

Intento ver que la desviación media es siempre menor que la desviación estándar ($D_m \leq{} s^2$)


$\dst \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left| x_i - \overline{x} \right| \leq{} \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$


Desarrollando un poco tengo que


$\dst ( \left| x_1 - \overline{x} \right| + \left| x_2 - \overline{x} \right| +\ldots +\left| x_n - \overline{x} \right|)^2 \leq{} n [( x_1 - \overline{x})^2 + ( x_2 - \overline{x})^2 + \ldots + ( x_n - \overline{x})^2]$


para abreviar un poco


$\dst y_1 =\left| x_1 - \overline{x}\right|$ , $y_2 = \left|x_2 - \overline{x}\right|$ , ... , $y_n =\left| x_n - \overline{x}\right|$


con lo que quedaría


$\dst (y_1 + y_2 + \ldots + y_n)^2 \leq{} n (y_1 ^2 + y_2 ^2 + \ldots y_n ^2)$


y es aquí donde me quedo, en primera instancia remplace la suma $y_1 + y_2 + \ldots + y_n$ como si fuera la suma de los $n$ primeros números naturales, pero en general no tiene porque ser asi, ya que al hablar de una muestra, pueden tomar valores variados y dispersos entre si.

Agradezco cualquier orientacion.