Otras carreras Espiral cuadrada sometida a un campo magnético

[allblack03]

Buenas a todos:
Repasando para un examen se me ha presentado un ejercicio que no se por donde cogerlo. Os pongo aqui el enunciado:

La espira cuadrada de lado L está recorrida por una corriente I y sometida a un campo magnético dado por B=5\mu0/\(pi*r) u, como se aprecia en las figuras. El origen de coordenadas coincide con el centro de la espira. Obtener: 1) La fuerza sobre cada hilo que la forma (a,b,c,d) y la resultante. 2) El momento resultante respecto del punto O



Gracias de antemano por vuestra ayuda

.

[Al2000]

Re: Espiral cuadrada sometida a un campo magnético

Puedes ahorrar algo de esfuerzo si reconeces e invocas la simetría de la disposición espira-campo para alegar que la fuerza total sobre cada uno de los lados (b) y (d) es cero. En cada uno de los lados (a) y (c) el campo es constante y lo puedes determinar inmediatamente aplicando Pitágoras para hallar la distancia r. El ángulo que forma el campo con el eje Z lo puedes hallar por trigonometría y la fuerza sobre el lado la hallas haciendo el producto vectorial $\boldsymbol F = I \boldsymbol \ell \times \boldsymbol B$. Una vez que tengas las fuerzas (dada la simetría, nada mas necesitas calcular una) puedes calcular el momento.

Saludos,

Al

[allblack03]

Re: Espiral cuadrada sometida a un campo magnético

Puedes ahorrar algo de esfuerzo si reconeces e invocas la simetría de la disposición espira-campo para alegar que la fuerza total sobre cada uno de los lados (b) y (d) es cero. En cada uno de los lados (a) y (c) el campo es constante y lo puedes determinar inmediatamente aplicando Pitágoras para hallar la distancia r. El ángulo que forma el campo con el eje Z lo puedes hallar por trigonometría y la fuerza sobre el lado la hallas haciendo el producto vectorial $\boldsymbol F = I \boldsymbol \ell \times \boldsymbol B$. Una vez que tengas las fuerzas (dada la simetría, nada mas necesitas calcular una) puedes calcular el momento.

Saludos,

Al

Hola Al2000,

Hay dos cosas que me sigo cuestionando:
1. ¿Cuando te refieres a r lo haces a los tres radios r?
2. ¿Qué relación hay entre las dos figuras?

Gracias de antemano y un abrazo.

[Al2000]

Re: Espiral cuadrada sometida a un campo magnético

1. r es la distancia al centro del campo magnético, representado en el dibujo varias veces para distintas líneas de inducción.

2. La segunda figura vendría a ser una ayuda visual para identificar la forma y posición del campo magnético, y su orientación (vector unitario $\boldsymbol u_t$). Lo que parece incongruente en la figura es ese "2" que parece indicar la posición del centro del campo. Me imagino se trata de un error de imprenta... mejor te imaginas allí cualquier letra que parezca un "2" y que no sea Z que ya está en uso.

Saludos,

Al

[allblack03]

Re: Espiral cuadrada sometida a un campo magnético

Gracias por todo Al2000 pero lamentable sigo sin entender gran parte del ejercicio.
Es que tras tus consejos tampoco he sido capaz de ni tan siquiera empezarlo.
Como último recurso podrías tu, o cualquiera de los expertos de esta comunidad, explicarmelo de nuevo.

Muchas gracias de antemano y un saludo cordial.

[Al2000]

Re: Espiral cuadrada sometida a un campo magnético

Bueno, camarada, yo ahora no tengo tiempo para ponerme a hacer un gráfico para ilustrarte el cálculo, de manera que te lo describo con la esperanza de que puedas elaborar el gráfico y entender y completar el cálculo. Para la explicación siguiente voy a llamar $R$ a la posición del centro del campo magnético sobre el eje Y (lo que aparece en el gráfico rotulado con un ridículo "2").

Aceptando que la fuerza sobre los lados (b) y (d) es cero, queda el cálculo de la fuerza sobre los lados (a) y (c), el cual es sencillo pues el campo es constante, puesto que todos los puntos del conductor (a) o (c) están a la misma distancia $\dst D = \sqrt {R^2 + \left(\frac L 2\right)^2}$. La dirección del campo magnético sobre el lado (a) o (c) es perpendicular a la línea trazada desde el centro del campo hasta el conductor, en el sentido del vector $\boldsymbol u_t$. La fuerza sobre cada uno de estos lados estará en dirección radial respecto al centro del campo (debido al producto vectorial $\boldsymbol \ell \times \boldsymbol B$) y su valor será simplemente $F = I L B$, con el campo evaluado a la distancia $D$.

Con las fuerzas así ubicadas, no deberías tener mucho problema para evaluar el momento de las fuerzas respecto de O.

Saludos,

Al

[JuanGomez]

Re: Espiral cuadrada sometida a un campo magnético

Estoy dando yo tambien este temario y estoy buscando ejercicios para resolverlos y comparto la opinión del autor de la consulta.
Lo he estado ojeando y yo tambien me lio con la direccion del campo y la distancia entre los puntos del conductor...
Además , (b) y (d) son 0 porque el sen es 0 no??

GRacias

- - - Actualizado - - -

Alguien podría explicarme para comprenderlo mejor?

[Al2000]

Re: Espiral cuadrada sometida a un campo magnético

En los lados (b) y (d) de la espira la fuerza es cero debido a la simetría de la configuración espira-campo. Nota que sobre el lado (b) o (d) el campo tiene una componente Z que siempre apunta hacia -Z (y que no produce ninguna fuerza por ser paralela a la corriente) y tiene una componente Y que cambia de sentido, apuntando en sentido -Y para valores positivos de Z y en sentido +Y para valores negativos. Esta componente Y del campo produce una fuerza en sentido $\pm$X, según los sentidos de la corriente y del campo, dándose la situación de que para todo elemento de corriente en una posición $+z$ habrá un elemento de corriente en posición $-z$ sobre el cual actúa un campo de igual módulo pero de sentido contrario.

Matemáticamente no es difícil demostrar que la fuerza es cero. Si llamas $\theta$ el ángulo entre el radio trazado desde el centro del campo hasta el elemento de corriente en la coordenada $z$ y el semieje Y negativo, entonces el campo $\boldsymbol B$ se puede escribir como $\dst \boldsymbol B = \frac {5 \mu_0}{\pi r}\left(- \cos \theta \, \boldsymbol u_z - \mathrm {sen} \, \theta \, \boldsymbol u_y\right)$, donde $\dst r = \sqrt {R^2 + z^2}$, $\dst \mathrm {sen} \, \theta = z/r$ y $\cos \theta = R/r$. La fuerza sobre el lado (b) queda $\dst \boldsymbol F_b = \int_{-L/2}^{L/2}\!\! I\,(dz\, \boldsymbol u_z) \times \boldsymbol B$, la cual cual da cero.

Saludos,

Al

[acg73]

Re: Espiral cuadrada sometida a un campo magnético

En los lados (b) y (d) de la espira la fuerza es cero debido a la simetría de la configuración espira-campo. Nota que sobre el lado (b) o (d) el campo tiene una componente Z que siempre apunta hacia -Z (y que no produce ninguna fuerza por ser paralela a la corriente) y tiene una componente Y que cambia de sentido, apuntando en sentido -Y para valores positivos de Z y en sentido +Y para valores negativos. Esta componente Y del campo produce una fuerza en sentido $\pm$X, según los sentidos de la corriente y del campo, dándose la situación de que para todo elemento de corriente en una posición $+z$ habrá un elemento de corriente en posición $-z$ sobre el cual actúa un campo de igual módulo pero de sentido contrario.

Matemáticamente no es difícil demostrar que la fuerza es cero. Si llamas $\theta$ el ángulo entre el radio trazado desde el centro del campo hasta el elemento de corriente en la coordenada $z$ y el semieje Y negativo, entonces el campo $\boldsymbol B$ se puede escribir como $\dst \boldsymbol B = \frac {5 \mu_0}{\pi r}\left(- \cos \theta \, \boldsymbol u_z - \mathrm {sen} \, \theta \, \boldsymbol u_y\right)$, donde $\dst r = \sqrt {R^2 + z^2}$, $\dst \mathrm {sen} \, \theta = z/r$ y $\cos \theta = R/r$. La fuerza sobre el lado (b) queda $\dst \boldsymbol F_b = \int_{-L/2}^{L/2}\!\! I\,(dz\, \boldsymbol u_z) \times \boldsymbol B$, la cual cual da cero.

Saludos,

Al

Yo no entiendo la direccion de los campos de cada lado, me los podrías facilitar? dimelo por ejemplo " lado b x positivo" y así porfavor

[Al2000]

-- Lado (a): Y negativo, Z negativo
-- Lado (b): Z negativo, Y positivo o negativo según la coordenada z
-- Lado (c): Y positivo, Z negativo
-- Lado (d): Igual que el lado (b)

Saludos,

$\mathcal A \ell$