2o ciclo Creación de pares con un electrón en lugar de un núcleo.

[Arri]

Buenos días:

Quería plantearos un problemilla que me trae algo loco desde ayer. En Física Cuántica vimos la creación de pares: cómo si un fotón incide en un núcleo el fotón crea un par electrón positrón. Vimos, además, la energía mínima que se requiere para ese fenómeno:

Un fotón de energía $h\nu$ crea un electrón de energía $E_-$ y un positrón de energía $E_+$. Por conservación de la energía:

$$h\nu=E_++E_- = m_0 c^2 + K_+ + m_0 c^2 + K_- = 2m_0 c^2 + K_+ + K_-$$

Donde se ha despreciado la energía de retroceso del núcleo (ahí es donde perderíamos el momento lineal del fotón).

Con $m_0$ la masa del electrón (y del positrón) y $K_+ \ K_-$ sus energías cinéticas. Para tener mínima energía, exigimos que las energías cinéticas sean 0 (que el electrón y el positrón se creen, pero que no se muevan). De forma que

$$h\nu = E_{min} = 2m_0 c^2$$

El ejercicio que se plantea es ver que, si en lugar de un núcleo sobre el que se impacta tenemos un electrón, la energía mínima es $4m_0c^2$. Lo he planteado del siguiente modo:

$$h\nu + m_0c^2 = E_+ + E_- + E'_-$$

El término $m_0 c^2$ de la derecha es el del electrón que tenemos inicialmente y $E'_-$ su energía tras el choque. Imponiendo de nuevo que las energías cinéticas del par electrón-positrón son nulas:

$$h \nu + m_0 c^2 = 2 m_0c^2 + \sqrt{(pc)^2 + (m_0c^2)^2}$$

El electrón original tiene momento porque ha de conservarse el que llevaba el fotón. De hecho, su valor vendrá dado por:

$$E=pc=h\nu$$

Así pues:

$$h \nu - m_0c^2 = \sqrt{(h\nu)^2 + (m_0c^2)^2}$$

Elevamos al cuadrado:

$$(h\nu)^2 + (m_0 c^2)^2 - 2h\nu m_0 c^2 = (h\nu)^2 + (m_0 c^2)^2 \Rightarrow 2h\nu m_0 c^2 = 0 \rightarrow h \nu = E_{min} = 0$$

¿Cuál ha sido mi fallo en el razonamiento?

Gracias de antemano ¡saludos!

[Arri]

Re: Creación de pares con un electrón en lugar de un núcleo.

Hola, veo que no tengo respuesta y este post va a caer en el olvido... ¿nadie puede ayudarme?

[pod]

Re: Creación de pares con un electrón en lugar de un núcleo.

Imponiendo de nuevo que las energías cinéticas del par electrón-positrón son nulas:

Probablemente ese es el fallo. Si el par creado sale en parado, por conservación del momento, el electrón diana tiene que absorber todo el momento del fotón, y eso requiere más energía del fotón.

Me juego un guisante que el caso de mínima energía se da cuando las tres partículas salientes tienen la misma energía/momento. Fíjate que esto es equivalente a decir que las partículas quedan las tres quietas en el centro de masas. De hecho, el primer ejercicio también se puede interpretar así, sólo que como la diana era muy masiva el centro de masas prácticamente es prácticamente su sistema de referencia.

Hola, veo que no tengo respuesta y este post va a caer en el olvido... ¿nadie puede ayudarme?

Impaciente.

[Arri]

Re: Creación de pares con un electrón en lugar de un núcleo.

He planteado el problema considerando los momentos iguales (en módulo), pero la dirección que han de llevar para que la energía sea mínima continúa siendo una incógnita. Si consideras que el positrón y el electrón creados forman 180º (si no aportan en la dirección horizontal), el resultado tampoco tiene sentido...

La verdad es que no sé qué diablos hacer para resolver este problema >_<

[pod]

Re: Creación de pares con un electrón en lugar de un núcleo.

He planteado el problema considerando los momentos iguales (en módulo), pero la dirección que han de llevar para que la energía sea mínima continúa siendo una incógnita. Si consideras que el positrón y el electrón creados forman 180º (si no aportan en la dirección horizontal), el resultado tampoco tiene sentido...

La verdad es que no sé qué diablos hacer para resolver este problema >_<

Considera que los tres momentos salientes (del electrón que ya estaba y los dos miembros del par) son iguales. En vector, no sólo en modulo.

[Arri]

Re: Creación de pares con un electrón en lugar de un núcleo.

O yo me he equivocado en algo o el asunto sigue fallando...

Vamos poco a poco:

Conservación de la energía:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$h\nu + m_0 c^2 = m_0 c^2 + \frac{p_{-}^2}{2m_0} + m_0c^2 + \frac{p_{+}^2}{2m_0} + m_0c^2 + \frac{p_{+}^2}{2m_0}$$

Si tomamos los tres momentos iguales ($p_+=p_- = p$):

$$h\nu = 2m_0 c^2 + \frac{3p^2}{2m_0}$$

Si los tres salen en la dirección que seguía el fotón:

$$p_{\gamma} = p + p + p = 3p$$

Como $p_{\gamma}= \frac{h\nu}{c}$:

$$p = \frac{h\nu}{3c}$$

De lo que se sigue:

$$h\nu = 2m_0 c^2 + \frac{(h\nu)^2}{6m_0c^2}$$

$$(h\nu)^2 - 6 m_0 c^2 h\nu + 12 (m_o c^2)^2$$

Si resolvemos esta ecuación de segundo grado para $h\nu$, tenemos:

$$h\nu= 3m_0 c^2 \pm i 2m_0 c^2 \notin \mathbb{R}$$

¿En qué he fallado esta vez?

[pod]

Re: Creación de pares con un electrón en lugar de un núcleo.

Eso de $p^2 / 2m$ no es válido en relatividad.

Parte de tu segunda ecuación, y elévala al cuadrado:

$$(h\nu + mc^2) ^2= 9 E^2 .$$

Entonces, podrás usar la energía relativista correcta, $E^2 = m^2 c^4 + c^2 p^2$. El momento lo has calculado correctamente, simplemente mételo ahí dentro y te debería salir mecánicamente

[Arri]

Re: Creación de pares con un electrón en lugar de un núcleo.

¡¡Por fin salió!!

Muchísimas gracias por la ayuda... Aún así ¿con qué criterio se marca que la situación de energía mínima es con la de los momentos idénticos y en la misma dirección? ¿Porque no se pierde energía en crear, digamos, nuevas componentes de momento? La verdad es que es una idea que ni por asomo se me hubiese ocurrido U

[pod]

Re: Creación de pares con un electrón en lugar de un núcleo.

¡¡Por fin salió!!

Muchísimas gracias por la ayuda... Aún así ¿con qué criterio se marca que la situación de energía mínima es con la de los momentos idénticos y en la misma dirección? ¿Porque no se pierde energía en crear, digamos, nuevas componentes de momento? La verdad es que es una idea que ni por asomo se me hubiese ocurrido U

Piensa en el centro de masas. Si salen en momentos idénticos y en la misma dirección, en el sistema de referencia del centro de masas están todos parados. En ese sistema, tanto el fotón como el electrón inicial van al encuentro uno de otro, chocan y quedan "enganchados" y parados (el fotón desintegrado en un par). No puede haber situación con menos energía que todo parado. Si en el centro de masas ese es la situación de menor energía, en cualquier otro sistema de referencia también debe serlo. Si en el sistema del centro de masas están todos detenidos, en cualquier otro sistema de referencia se mueven todos con el mismo momento.

Por cierto, hay un pequeño truco para hacer estos problemas, en vez de plantear la conservación del momento y de la energía por separado, plantea la ecuación de conservación del cuadri momento, $p^\mu = (E/c, \vec p)$. La gracia es que tenemos la propiedad del cuadrado del cuadri-momento: $p^2 = p_\mu p^\mu = - m^2 c^2$. El producto escalar de dos cuadri-vectores diferentes es $p_{1\mu} p^\mu_2 = - E_1 E_2 / c^2 + \vec p_1 \cdot \vec p_2$. Luego, la ecuación es

$$p^\mu_\gamma + p^\mu_e = 3 p^\mu .$$

Elevando esta ecuación al cuadrado,

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]