1r ciclo Colección de problemas > Mecánica clásica > Cinemática > Movimiento lineal (1D) > ej. 10)

[Josepi]

[FONT=verdana]Buenas tardes a todos!!
Estuve resolviendo los problemas de movimiento en 1D y me atasqué en este último, ya que no sé plantearlo y la solución tampoco me ha sido de mucha ayuda para entenderlo.

EJERCICIO 10)
La cabina de un ascensor, en la cual la distancia desde el suelo hasta el techo es igual a , comienza a elevarse con aceleración constante de después de dos segundos de iniciado el ascenso, comienza a caer un tornillo desde el techo del ascensor. Hallar

1.el tiempo de caída libre del tornillo;
2.el desplazamiento y el espacio recorrido por el tornillo durante la caída libre en el sistema de referencia, relacionado con el ascensor.

SOLUCIÓN:
Apartado 1.
Se tiene que en el sistema de referencia del ascensor el campo gravitatorio produce una aceleración igual a pues este esta acelerando hacia arriba, teniendo en cuenta eso la ecuación del movimiento que describe el tornillo respecto del ascensor estará dado por:
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[FONT=verdana](1)[/FONT]

[FONT=verdana]Por lo tanto como para caer tendrá que recorrer la longitud que tiene el ascensor se tendrá que el tiempo que le tome la caída libre al tornillo será:
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[/FONT]No entiendo por qué en el sistema de referencia del ascensor el campo gravitatorio es de $11m.{s}^{-2}$. Si la gravedad y la aceleración de ascensor tienen distinto sentido y por lo tan[FONT=arial][/FONT]to distinto signo, no debería ser $(-9'8m.{s}^{-2})+ 1'2m.{s}^{ -2} = (-8.6m.{s}^{-2})$???

Parece un caso de velocidad relativa.
¿Cómo debería plantear el problema?
${t}_{tornillo} = {t}_{ascensor} + 2s$??
${x}_{0 tornillo}= {x}_{0 ascensor} + 2'7m$??

¿Cómo se obtiene la ecuación de movimiento que describe el tornillo respecto del ascensor??

Muchas gracias por su atención de antemano!

[Clarck Luis]

Re: Colección de problemas > Mecánica clásica > Cinemática > Movimiento lineal (1D) > ej. 10)

Hola josepi, comprendo tu duda sobre porque las aceleraciones deben sumarse y no restarse, lo que ocurre es que el tornillo esta bajando con una aceleración de 9,8 $m/{s}^{2 }$ y el ascensor sube con una aceleración de $1,2 m/{s}^{2 }$, y como cada uno va al encuentro del otro es lógico que se sumen sus aceleraciones, sino puedes comprenderlo así te propongo que hagas esto: es verdad que ambas aceleraciones son vectores uno que apunta hacia abajo (9,8) y otro que apunta hacia arriba (1,2), entonces sumale un vector que apunte hacia "abajo" de la misma magnitud (1,2) que el que apunta hacia arriba, a ambos para que no se altere el sistema, entonces obtendrás que el que apuntaba hacia abajo aumentara (ya que le sumaste un vector que va en su misma dirección) y el que apuntaba hacia arriba se hará cero (ya que le sumaste un vector opuesto a el y de su misma magnitud). De esto trata la relatividad de las cosas es como si uno estuviera quieto y el otro avanzara con la suma de las dos aceleraciones.
Tambien podemos plantearlo con ecuaciones para que no te compliques:

Sabemos que la distancia total a recorrer es 2,7m entonces voy a tomar como que el piso del ascensor es otra "partícula" que tiene aceleración de 1,2 $m/{s}^{2 }$, entonces el piso y el tornillo están separados una distancia de 2,7m y se van a encontrar, calculemos ambos recorridos y el tiempo de encuentro (en el que el tornillo choca con el piso):

${d}_{1 } = \frac{9,8}{2 }{t}^{2 }$ este es para el tornillo

${d}_{2} = \frac{1,2}{2 }{t}^{2 }$ este es para el piso del ascensor

${d}_{1 } + {d}_{2} = 2,7m$

${t}^{2 }(\frac{9,8}{2 }+\frac{1,2}{2 }) = 2,7m$

$t = \sqrt{\frac{2,7.2}{11}} = 0,7$

Espero haber aclarado tu duda, saludos.

[Josepi]

Re: Colección de problemas > Mecánica clásica > Cinemática > Movimiento lineal (1D) > ej. 10)

Con los vectores creo que vi algo de luz:
Para conseguir que estos 2 vectores que tienen distinto sentido resulten en 1 vector de sentido único, le he sumado a la aceleración (1,2) y a la (9'8) el opuesto en signo del primero; esto es:

(1'2,0) + (-1'2,0) = (0,0) --> = 0.

(-9'8,0) + (-1'2,0) = (-11,0) ----> mayor módulo.

No sé si he expresado bien la suma vectorial, pero bueno, teniendo en cuenta el resultado, en el que la suma de las
aceleraciones es $11m.{s}^{-2}$... según los vectores... sería $-11m.{s}^{-2}$, no??... porque el vector que aumenta del módulo es precisamente el negativo.


El problema finalmente lo plantee como me explicaste en la última parte del mensaje, tomando como punto de partida la premisa de que la suma de los desplazamientos de tornillo y ascensor son = a 2'7.

T= Tornillo.
A= Ascensor.


${x}_{T}+{x}_{A}= 2'7$ ; ${x}_{T}= 2'7 - {x}_{A}$ ;



${x}_{A}= \frac{1'2}{2}.{t}^{2}$

$2'7 - {x}_{A} = \frac{-9'8}{2}.{t}^{2}$ ; $-{x}_{A}= -2'7-\frac{9'8}{2}.{t}^{2}$ ;

${x}_{A}= 2'7 + \frac{9'8}{2}.{t}^{2}$



$2'7+\frac{9'8}{2}.{t}^{2}= \frac{1'2}{2}.{t}^{2}$ ;

$2.(2'7+\frac{9'8}{2}.{t}^{2})= 1'2.{t}_{2}$ ;

$5'4+9'8.{t}^{2}= 1'2.{t}^{2}$ ; $(9'8+1'2).{t}^{2}= -5'4$ ;

$8'6.{t}^{2}= -5'4$ ---> tiempo (-) no tiene sentido ---> ${t}^{2}= \frac{5'4}{8'6}$ ;

$t = \sqrt{\frac{5'4}{8'6}} = 0'7924s$


Si lo resuelvo con el mismo planteamiento inicial pero con distintas operaciones, me da un resultado más cercano a 0'8 que a 0'7 y tampoco sé a qué puede ser debido .

En cualquier caso, una vez hallado el tiempo, ¿cómo llegamos a la ecuación del desplazamiento del tornillo:
${x}_{T}= Y = -5'5.{t}^{2}$???

Gracias!!

[Clarck Luis]

Re: Colección de problemas > Mecánica clásica > Cinemática > Movimiento lineal (1D) > ej. 10)

Hola josepi, como te dije mas arriba, al sumarle un vector aceleración a ambos es como si uno estuviera con la aceleración de los dos y el otro sin aceleración, si esa parte me entendiste entonces vamos bien, te aclaro que la suma sale -11 $m/{s}^{2 }$.
Ahora, lo que yo hice fue determinar una distancia entre los dos "móviles" (Piso y tornillo) y que se iban a encontrar, cada uno recorría una distancia para encontrarse con el otro (dibújalo para que te ayudes), entonces simplemente sume las distancias que recorrieron pero de forma escalar no vectorial, lo hice así porque si lo dibujas suena lógico, ahora lo que tu hiciste fue hacer una suma vectorial que terminó siendo una resta ya que los "desplazamientos" tienen distintas direcciones, entonces no podrías igualarlo a 2,7m ya que 2,7 no es un vector es un escalar, y la suma de dos vectores debe darte otro vector, ahí tu error en tus ecuaciones. Yo lo hice de forma escalar repito usando distancia recorrida, ahora si tu quieres hacerlo de forma vectorial puedes hacerlo con la ecuación de posición ${x}_{f} = {x}_{0} + \frac{1}{2 }a{t}^{2 }$, voy a tomar como punto de referencia donde se ubica el piso del ascensor:

para el tornillo ${x}_{ f} = 2,7 - \frac{1}{2 }9,8{t}^{2 }$

para el piso del ascensor ${x}_{ f} = 0 + \frac{1}{2 }1,2{t}^{2 }$

igualando posiciones para determinar el tiempo en que se encuentran:

$2,7 - \frac{1}{2 }9,8{t}^{2 } = 0 + \frac{1}{2 }1,2{t}^{2 }$

y de ahi te sale una ecuación idéntica a la que yo hice de forma escalar, ojo aquí si lo he hecho de forma vectorial

Ahora para hallar la ecuación de "desplazamiento" del tornillo con "respecto al ascensor", entonces tomamos al ascensor como sistema de referencia, para el ascensor es como si el tornillo estuviera viajando con una asceleracion de -11 $m/{s}^{2 }$, entonces planteamos la ecuación de desplazamiento:

${d}_{t } = -\frac{1}{ 2}11{t}^{2 }$ y operando la división te sale lo que planteaste

Esto es porque estamos tomando al ascensor como sistema referencia, el cual debe viajar a velocidad constante o estar en reposo. Y para que cumpla esto le hemos sumado una vector que haga su aceleración "0" como te explique arriba, a ambos para que no se altere el sistema, entonces recién se le puede usar como sistema de referencia, y el efecto es que el tornillo aumente su aceleración. Una vez hecho esto, simplemente planteamos su ecuación de desplazamiento.

Espero haberte aclarado tu duda, saludos.

[Josepi]

Re: Colección de problemas > Mecánica clásica > Cinemática > Movimiento lineal (1D) > ej. 10)

Ahora sí que sí !
Muchas gracias por las molestias. Me ha sido verdaderamente de ayuda.