2o ciclo Otro problema de evolución temporal

[surrealfrog]

El problema es el siguiente:
Considere un modelo de átomo de hidrógeno como un sistema unidimensional de dos niveles, el estado base Y1 y el primer estado excitado Y2. Inicialmente el sistema se encuentra como una superposición lineal de Y1 y Y2. Calcule la dependencia temporal del valor medio de la coordenada radial <r(t)> para un instante arbitrario t>0.

A continuación mi intento de solución:

En el instante t = 0, entonces la función de onda debe ser:
Y(x,0) = a·Y1 (x,0) + b·Y2(x,0)
Aplicación el operador de evolución se tiene, para un instante t>0
Y(x,t) = a·exp(-iHt/h)·Y1(x,0) + b·exp(-iHt/h)·Y2
Al aplicar el hamiltoniano debe dar la energía correspondiente a cada estado:
Y(x,t) = a·exp(-iE1t/h)·Y1(x,0) + b·exp(-iE2t/h)·Y2
Ahora para la dependencia temporal de la coordenada radial:
<r(t)> = <Y*(x,t)|r|Y(x,t)>
Lo cual desarrollando me da:
<r(t)> = <a·exp(iE1t/h)·Y1* + b·exp(iE2t/h)·Y2*|r|a·exp(-iE1t/h)·Y1 + b·exp(-iE2t/h)·Y2>
<r(t)> = a^2 <Y1*|r|Y1> + b^2 <Y2*|r|Y2> + ab·exp[i(E1-E2)t/h]·<Y1*|r|Y2> + ab·exp[i(E2-E1)t/h]·<Y2*|r|Y1>

Y ahí me planté... mi duda es si es correcto el razonamiento que tuve? y si esa sería la solución del problema o que más podría hacer?

[pod]

Re: Otro problema de evolución temporal

El problema es el siguiente:
Considere un modelo de átomo de hidrógeno como un sistema unidimensional de dos niveles, el estado base Y1 y el primer estado excitado Y2. Inicialmente el sistema se encuentra como una superposición lineal de Y1 y Y2. Calcule la dependencia temporal del valor medio de la coordenada radial <r(t)> para un instante arbitrario t>0.

A continuación mi intento de solución:

En el instante t = 0, entonces la función de onda debe ser:
Y(x,0) = a·Y1 (x,0) + b·Y2(x,0)
Aplicación el operador de evolución se tiene, para un instante t>0
Y(x,t) = a·exp(-iHt/h)·Y1(x,0) + b·exp(-iHt/h)·Y2
Al aplicar el hamiltoniano debe dar la energía correspondiente a cada estado:
Y(x,t) = a·exp(-iE1t/h)·Y1(x,0) + b·exp(-iE2t/h)·Y2
Ahora para la dependencia temporal de la coordenada radial:
<r(t)> = <Y*(x,t)|r|Y(x,t)>
Lo cual desarrollando me da:
<r(t)> = <a·exp(iE1t/h)·Y1* + b·exp(iE2t/h)·Y2*|r|a·exp(-iE1t/h)·Y1 + b·exp(-iE2t/h)·Y2>
<r(t)> = a^2 <Y1*|r|Y1> + b^2 <Y2*|r|Y2> + ab·exp[i(E1-E2)t/h]·<Y1*|r|Y2> + ab·exp[i(E2-E1)t/h]·<Y2*|r|Y1>

Y ahí me planté... mi duda es si es correcto el razonamiento que tuve? y si esa sería la solución del problema o que más podría hacer?

Hasta ahí parece correcto. Puedes simplificar un poco más, $\left< Y1 | r | Y2 \right>$ (fíjate que no tienes que poner el asterisco, la conjugación va implícita al ponerlo como un bra) y $\left< Y2 | r | Y1 \right>$ son conjugados uno de otro, los prefactores exponenciales también lo son; luego tienes la suma de un número complejo más su conjugado, y eso debe ser igual a dos veces la parte real, $z + z^* = 2 \text{Re}(z)$.

Después de eso, sólo te queda tomar las funciones de onda del átomo de Hidrógeno para su estado fundamental y primer estado excitado y hacer los valores esperados que aparecen, que serán tres.

[surrealfrog]

Re: Otro problema de evolución temporal

Gracias, me podrias ayudar en la ultima parte que dices por favor.
Ahora tenemos entonces:
<r(t)> = a^2 <Y1|r|Y1> + b^2 <Y2|r|Y2> + 2ab*Re(exp[i(E1-E2)t/h]·<Y1|r|Y2>)
Hasta aquí entendí, ahora: ¿cuales son las funciones de onda del átomo de hidrógeno para su estado fundamental y el primer estado excitado?

[pod]

Re: Otro problema de evolución temporal

Gracias, me podrias ayudar en la ultima parte que dices por favor.
Ahora tenemos entonces:
<r(t)> = a^2 <Y1|r|Y1> + b^2 <Y2|r|Y2> + 2ab*Re(exp[i(E1-E2)t/h]·<Y1|r|Y2>)
Hasta aquí entendí, ahora: ¿cuales son las funciones de onda del átomo de hidrógeno para su estado fundamental y el primer estado excitado?

Yo no me las sé de memoria

Pero estoy seguro que en tus apuntes o en tu libro tienen que estar. Salen polinomios de Legendre y esas cosas.

[surrealfrog]

Re: Otro problema de evolución temporal

Si, estoy buscando en mis apuntes, y aparecen polinomios de Laguerre, voy a copiar los que tengo:
Para 1s: R(r) = A·exp[-(r/2)]
Para 2s: R(r) = B·(1 - 2r)·[exp-(r/2)]
Donde A,B son constante en función del número atómico, el radio del átomo, etc.

Primera pregunta ¿Esta bien usar las funciones de 1s para el estado base y de 2s para el primer estado excitado?

Ahora desarrollaré un poco los brakets de <r(t)>
<r(t)> = a^2 <Y1|r|Y1> + b^2 <Y2|r|Y2> + 2ab*Re(exp[i(E1-E2)t/h]·<Y1|r|Y2>)

<Y1|r|Y1> = A^2 · int [r·exp(-r)dr]
<Y2|r|Y2> = B^2 · int [r·(1-2r)^2·exp(-r)dr]
<Y1|r|Y2> = AB · int [r·(1-2r)·exp(-r)dr]

Una consulta más: Al final no podría decir simplemente que esos tres brackets nos darán valores numéricos y que por lo tanto, <r(t)> es proporcional a cos(E1-E2)t/h, por lo que se comporta como una función oscilatoria?

[pod]

Re: Otro problema de evolución temporal

Primera pregunta ¿Esta bien usar las funciones de 1s para el estado base y de 2s para el primer estado excitado?

Es precisamente lo que son.

Una consulta más: Al final no podría decir simplemente que esos tres brackets nos darán valores numéricos y que por lo tanto, <r(t)> es proporcional a cos(E1-E2)t/h, por lo que se comporta como una función oscilatoria?

Hombre, poder puedes. Pero yo soy el profesor y me sabría mal. Tampoco cuesta tanto hacer esas integrales, seguro que están en el Schaum. No te olvides de normalizar.

[surrealfrog]

Re: Otro problema de evolución temporal

Gracias, creo que ya tengo el problema resuelto, las integrales evidentemente son conocidas. Una ultima pregunta, ¿Los límites de integración se mantienen de -infinito a +infinito o en este caso sería de -r a r ?

[pod]

Re: Otro problema de evolución temporal

Gracias, creo que ya tengo el problema resuelto, las integrales evidentemente son conocidas. Una ultima pregunta, ¿Los límites de integración se mantienen de -infinito a +infinito o en este caso sería de -r a r ?

De 0 a infinito. El radio no puede ser negativo...