Error relativo

[Giné]

En el libro de Física y Química de 4º Curso del Plan 1957 de A Mingarro y V Aleixandre, aparece en su primera lección sobre LA MEDIDA el siguiente problema:
[FONT=Courier New]El diámetro de una esfera es 5 [/FONT][FONT=Courier New]± 0,1 cm. Exprésese el error relativo con que se conocen su superficie y su volumen. Tomar para [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Courier New] el valor 3,14.[/FONT]
[FONT=Courier New][FONT=Verdana]y da como Solución lo siguiente:[/FONT][/FONT]
[FONT=Courier New][FONT=Courier New][FONT=Courier New]Área = 4,50 por 100[/FONT][/FONT]
[FONT=Courier New]Volumen = 6,5 por 100[/FONT]
[FONT=Courier New][FONT=Verdana]a la cual no consigo llegar. Sospecho que estén equivocadas.[/FONT][/FONT]
[FONT=Courier New][FONT=Verdana]Gracias a l@s valientes que me resuelvan la duda..........[/FONT][/FONT]
[FONT=Courier New][FONT=Verdana]Además, Felicidades por el foro, estoy contentísimo de haberlo descubierto, hoy mismo, y contar con toda mi colaboración.............[/FONT][/FONT]
[FONT=Courier New][FONT=Verdana]Decir que t[FONT=Courier New][FONT=Verdana]ambién [/FONT][/FONT]voy a aparecer con otro nombre de usuario: Giné[/FONT][/FONT][/FONT]

[Elendor]

Re: Error relativo

He hecho los cálculos y he obtenido un error relativo de la superficie del 8%, y el del volumen 12%. Sin embargo al principio me confundí y tomé como radio el diámetro, y me salieron 4% y 6%, así que a lo mejor las soluciones están hechas tomando el dato del diámetro como radio.

[pod]

Re: Error relativo

Utilizando la propagación de errores para el área $A = 4\pi r^2$ y volumen, $V = \frac43 \pi r^3$ tenemos que los errores deben ser

$$\begin{aligned}<br /> \delta A &= 8\pi r \delta r \ , \\<br /> \delta V &= 4 \pi r^2 \delta r \ .<br /> \end{aligned}$$

Por lo tanto, los errores relativos serán

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\delta A}{A} &= \frac{2\delta r}{r} \ , \\<br /> \frac{\delta V}{V} &= \frac{3\delta r}{r} \ .<br /> \end{aligned}$$

Sólo hace falta substituir para ver que nos da un 4% y 6% respectivamente, teniendo en cuenta que $r = ( 2.5 \pm 0.05 ) \mathrm{cm}$.

Además, observamos que el resultado debería ser el mismo si tomamos el diámetro, ya que el factor dos afecta por igual al valor como al error: un factor multiplicativo no afecta al error relativo. Además, tampoco importa el valor de $pi$ que tomes.

Por cierto, por favor utiliza una única cuenta para participar en los foros, no es necesario tener más. Si hace falta, podemos fusionar las dos cuentas, sólo dinos que nombre te gusta más

[aLFRe]

Re: Error relativo

La discrepancia en el decimal procede del valor numérico que hayas usado para $\pi$
En los tiempos de las calculadoras "no científicas" el número $\pi$
se introducía a mano por lo cual a menos que tuvieses una tabla
lo usual era emplear 3,14 o 3,1416
y esto tenías que tenerlo en cuenta al hacer la propagación de errores.
Supongo que tu texto considera esto.

En las prácticas te recomiendan hacer propagación cuadrática,
pero observa que si fuese lineal ( así me sale más fácil )
Para el area
$A = 4\pi r^2$
el error relativo en notación $\epsilon$ sería
$\epsilon ( A ) = \epsilon ( \pi) + 2 \epsilon ( r )$
Para $\pi = 3,14$ esto añade una fuente adicional de indeterminación
$\epsilon ( \pi ) = 100 \frac{1}{314}$
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
a sumar al que se ha contabilizado en los anteriores posts.

Para el volumen es lo mismo...

Un saludo.

AÑADIDO:
Para que quede aclarado mi referencia a lo del caso cuadrático.
Lo voy a aplicar para el caso de la superficie
$A = 4\pi r^2$
y sería algo así
$\sigma^2(A) = \left (\frac{\partial A }{\partial \pi}\right )^2 \sigma (\pi)^2 + \left (\frac{\partial A }{\partial r }\right )^2\sigma (r )^2$

Si el error relativo en tanto por cien es
$\epsilon (A) =100 \frac {\sigma (A)}{A}$

es fácil expresar lo anterior en función de errores relativos
$\epsilon (A) =\sqrt{(\epsilon (\pi))^2 + 4 (\epsilon (r))^2}$

y haciendo las operaciones ( puedo haberme equivocado )
a mi me sale $\epsilon (A)=4,012 \%$