Otras carreras condiciones de frontera

[LauraLopez]

Bueno aunque sea para entender un poco quiero ver como llegar a las condiciones de frontera para H.

Tengo que la ley de Ampere es :

$\dst \int H . dl = \int J.n dA$

Y de esta formula el libro despues llega a :

$(H2 - H1 ) .I_0 = j . (n_2 \times I_0) = j \times n_2 . I_0$


No tengo ni idea como llega a todo eso.....

No entiendo bien que seria el j y el I_0

[arivasm]

Re: condiciones de frontera

Como las distancias DA y BC son despreciables, sólo hay circulación de H en los tramos AB y CD. Si, siguiendo el texto, llamamos $\Delta l$ a su longitud (que será infinitesimal y que llamaremos $\Delta l'$) y tomamos las componentes tangenciales de H como positivas hacia la derecha tendremos que en el tramo AB $\dst\int_A^B \vec H\cdot\dd\vec l=H_{2,t}\Delta l$, mientras que en el CD (donde los $\dd\vec l$ apuntan hacia la izquierda) $\dst\int_C^D \vec H\cdot\dd\vec l=-H_{1,t}\Delta l$. Combinando todo esto tenemos que $\dst\oint \vec H\cdot\dd\vec l=(H_{2,t}-H_{1,t})\Delta l$.

El lado derecho de la ley de Ampère es la intensidad neta de la corriente que atraviesa el lazo ABCD (y recordemos que la intensidad es el flujo del vector $\vec J$). Como sus lados verticales son despreciables, sólo se tratará de la intensidad de la corriente superficial. Pero eso sí, debemos quedarnos con la componente perpendicular al lazo y eso es lo que dará lugar al rollo ese del producto vectorial.

Pero antes, sigamos jugando con la expresión que encontramos antes, es decir, con que

$$\oint \vec H\cdot\dd\vec l=(H_{2,t}-H_{1,t})\Delta l=I=\int \vec J\cdot\dd\vec S$$

Como $\dd\vec S$ son vectores entrantes en el papel, y como la $l_0$ es infinitesimal, el lado derecho de esta integral será $\int \vec J\cdot\dd\vec S=J_p \Delta l\Delta l'$, donde el subíndice p lo he usado para indicar "perpendicular al papel".

Llevando esto a (1) tenemos

$$H_{2,t}-H_{1,t}=J_p\Delta l'$$

Ahora recordemos que $\vec J=\rho\vec v$, siendo $\rho$ la densidad volumétrica de carga libre. Pero $\dst \rho\Delta l'=\frac{\dd q}{\dd V}\Delta l'=\frac{\dd q}{\Delta l'\dd S}\Delta l'=\sigma$, siendo $\sigma$ la densidad superficial de carga libre (es decir carga/superficie, $\dd q/\dd S$, -refiriéndose esta última a la superficie de separación, ¡no del lazo!-), con lo que (2) nos queda

$$H_{2,t}-H_{1,t}=\sigma v_p=j_p$$

Para comprender el resultado final tenemos que tener en cuenta que, en realidad, el vector H no tiene *una* componente tangencial. Me explicaré: si llamamos X e Y a las coordenadas sobre la superficie de separación y Z a la perpendicular el vector H tendrá tanto una $H_x$, como una $H_y$, que encima dependerán de cómo estén orientados esos ejes X e Y.

Para no liarnos pongámoslo bien fácil: la corriente superficial es entrante en el papel. Las componentes "horizontales" de H cumplirán (3), con $j_p=j$.

¿Y si la corriente superficial fuese hacia la derecha? Entonces $j_p=0$, lo que significa que las componentes "horizontales" de H cumplirían que $H_{2,t}=H_{1,t}$.

Moraleja: las componentes tangenciales que no cambian son las que tienen la dirección de $\vec j$. La que sí cambia es la perpendicular a $\vec j$. ¿Cómo podemos expresar esto último?: recurriendo al producto vectorial $\vec j\times\vec n_2$. De ahí que

$$(\vec H_2-\vec H_1)_t=\vec j\times\vec n_2$$